离散数学习题集(十五套)

离散数学试题与答案试卷一一、填空20%（每小题2分）1．设（N：自然数集，E+正偶数）则。2．A，B，C表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为。3．设P，Q的真值为0，R，S的真值为1，则的真值=。4．公式的主合取范式为。5．若解释I的论域D仅包含一个元素，则在I下真值为。6．设A={1，2，3，4}，A上关系图为则R2=。7．设A={a，b，c，d}，其上偏序关系R的哈斯图为则R=。8．图的补图为。9．设A={a，b，c，d}，A上二元运算如下：}7|{)},5()(|{xExxBxNxxA且且BA)()))(((SRPRQPPRSRP)()()()(xxPxxPABC*abcdabcdabcdbcdacdabdabc那么代数系统A，*的幺元是，有逆元的元素为，它们的逆元分别为。10．下图所示的偏序集中，是格的为。二、选择20%（每小题2分）1、下列是真命题的有（）A．；B．；C．；D．。2、下列集合中相等的有（）A．{4，3}；B．{，3，4}；C．{4，，3，3}；D．{3，4}。3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（）个。A．23；B．32；C．；D．。4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（）A．若R，S是自反的，则是自反的；B．若R，S是反自反的，则是反自反的；C．若R，S是对称的，则是对称的；D．若R，S是传递的，则是传递的。5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下}}{{}{aa}}{,{}}{{}},{{}}{{}{332223SRSRSRSR则P（A）/R=（）A．A；B．P(A)；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“”的哈斯图为（）7、下列函数是双射的为（）A．f:IE,f(x)=2x；B．f:NNN,f(n)=n,n+1；C．f:RI,f(x)=[x]；D．f:IN,f(x)=|x|。（注：I—整数集，E—偶数集，N—自然数集，R—实数集）8、图中从v1到v3长度为3的通路有（）条。A．0；B．1；C．2；D．3。9、下图中既不是Eular图，也不是Hamilton图的图是（）10、在一棵树中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点则该树有（）个4度结点。A．1；B．2；C．3；D．4。三、证明26%１、R是集合X上的一个自反关系，求证：R是对称和传递的，当且仅当|}||(|)(,|,{tsAptstsRa,b和a,c在R中有.b,c在R中。（8分）２、f和g都是群G1,★到G2,*的同态映射，证明C,★是G1,★的一个子群。其中C=(8分)３、G=V,E(|V|=v，|E|=e)是每一个面至少由k（k3）条边围成的连通平面图，则，由此证明彼得森图（Peterson）图是非平面图。（11分）四、逻辑推演16%用CP规则证明下题（每小题8分）1、2、五、计算18%1、设集合A={a，b，c，d}上的关系R={a,b,b,a,b,c,c,d}用矩阵运算求出R的传递闭包t(R)。（9分）2、如下图所示的赋权图表示某七个城市及预先算出它们之间的一些直接通信线路造价，试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小。（９分）试卷一答案：一、填空20%（每小题2分）1、{0，1，2，3，4，6}；2、；3、1；4、；5、1；6、{1,1,1,3,2,2,2,4}；7、{a.b,a,c,a,d,b,d,c,d}IA；8、)}()(|{1xgxfGxx且2)2(kvkeFAFEDDCBA,)()())()((xxQxxPxQxPx721,,,vvvACB)()()(RSPRSP9、a；a,b,c,d；a,d,c,d；10、c;二、选择20%（每小题2分）题目12345678910答案CDB、CCADCADBA三、证明26%1、证：“”若由R对称性知，由R传递性得“”若，有任意，因若所以R是对称的。若，则即R是传递的。2、证，有，又★★★C,★是G1,★的子群。3、证：①设G有r个面，则，即。而故即得。（8分）②彼得森图为，这样不成立，Xcba,,Rc,a,b,aRa,c,a,bRc,bRb,aRc,aRc,bXba,Ra,aRb,aRa,bRb,aRcb,Rcb,Rab,Rc,aCba,)()(),()(bgbfagaf)()(,)()(1111bgbgbfbf)()()()(1111bgbgbfbfaf(agbgagbfafb()(*)()(*)()111)1baCb1rkFderii1)(2ker22revkeevrev222)2(kvke10,15,5vek2)2(kvke所以彼得森图非平面图。（3分）二、逻辑推演16%1、证明：①P（附加前提）②T①I③P④T②③I⑤T④I⑥T⑤I⑦P⑧T⑥⑦I⑨CP2、证明①P（附加前提）②US①③P④US③⑤T②④I⑥UG⑤⑦CP三、计算18%1、解：，ABADCBADCDEDFEDFFA)(xxP)(cP))()((xQxPx)()(cQcP)(cQ)(xxQ)()(xxQxxP0000100001010010RM00000000101001012RRRMMM，t(R)={a,a,a,b,a,c,a,d,b,a,b,b,b,c.,b,d,c,d}2、解：用库斯克（Kruskal）算法求产生的最优树。算法略。结果如图：树权C(T)=23+1+4+9+3+17=57即为总造价。试卷二试题与答案一、填空20%（每小题2分）1、P：你努力，Q：你失败。“除非你努力，否则你将失败”的翻译为；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为。2、论域D={1，2}，指定谓词PP(1,1)P(1,2)P(2,1)P(2,2)TTFF则公式真值为。2、设S={a1，a2，…，a8}，Bi是S的子集，则由B31所表达的子集是。3、设A={2，3，4，5，6}上的二元关系，则R=（列举法）。R的关系矩阵MR=000000000101101023RRRMMM000000001010010134RRRMMM0000100011111111432)(RRRRRtMMMMM),(xyyPx}|,{是质数xyxyxR。5、设A={1，2，3}，则A上既不是对称的又不是反对称的关系R=；A上既是对称的又是反对称的关系R=。6、设代数系统A，*，其中A={a，b，c},则幺元是；是否有幂等性；是否有对称性。7、4阶群必是群或群。8、下面偏序格是分配格的是。9、n个结点的无向完全图Kn的边数为，欧拉图的充要条件是。10、公式的根树表示为。二、选择20%（每小题2分）1、在下述公式中是重言式为（）A．；B．；C．；D．。2、命题公式中极小项的个数为（），成真赋值的个数为（）。A．0；B．1；C．2；D．3。3、设，则有（）个元素。A．3；B．6；C．7；D．8。RQPQPP)(())(()()(QPQP))()(()(PQQPQPQQP)()(QPP)()(PQQP}}2,1{},1{,{SS2*abcabcabcbbcccb4、设，定义上的等价关系则由R产生的上一个划分共有（）个分块。A．4；B．5；C．6；D．9。5、设，S上关系R的关系图为则R具有（）性质。A．自反性、对称性、传递性；B．反自反性、反对称性；C．反自反性、反对称性、传递性；D．自反性。6、设为普通加法和乘法，则（）是域。A．B．C．D．=N。7、下面偏序集（）能构成格。8、在如下的有向图中，从V1到V4长度为3的道路有（）条。A．1；B．2；C．3；D．4。9、在如下各图中（）欧拉图。}3,2,1{SSS},,,,|,,,{cbdaSSdcSSbadcbaRSS}3,2,1{S,,,S},,3|{QbabaxxS},,2|{ZbanxxS},12|{ZnnxxS}0|{xZxxS10、设R是实数集合，“”为普通乘法，则代数系统R，×是（）。A．群；B．独异点；C．半群。三、证明46%1、设R是A上一个二元关系，试证明若R是A上一个等价关系，则S也是A上的一个等价关系。（9分）2、用逻辑推理证明：所有的舞蹈者都很有风度，王华是个学生且是个舞蹈者。因此有些学生很有风度。（11分）3、若是从A到B的函数，定义一个函数对任意有，证明：若f是A到B的满射，则g是从B到的单射。（10分）4、若无向图G中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定连通。（8分）5、设G是具有n个结点的无向简单图，其边数，则G是Hamilton图（8分）四、计算14%1、设Z6,+6是一个群，这里+6是模6加法，Z6={[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]}，试求出Z6,+6的所有子群及其相应左陪集。（7分）2、权数1，4，9，16，25，36，49，64，81，100构造一棵最优二叉树。（7分）试卷二答案：一、填空20%（每小题2分）)},,,(),(|,{RbcRcaAcAbabaS且有对于某一个BAf:ABg2:Bb)})(()(|{)(bxfAxxbgA22)2)(1(21nnm1、；2、T3、4、R={2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6}；5、R={1,2,1,3,2,1}；R={1,1,2,2,3,3}6、a；否；有7、Klein四元群；循环群8、B9、；图中无奇度结点且连通10、二、选择20%（每小题2分）题目12345678910答案B、DD；DDBDABBBB、C三、证明46%1、（9分）（1）S自反的，由R自反，，（2）S对称的（3）S传递的由（1）、（2）、（3）得；S是等价关系。2、11分证明：设P(x)：x是个舞蹈者；Q(x)：x很有风度；S(x)：x是个学生；a：王华上述句子符号化为：前提：、结论：……3分①PQPQP},,,,{876540001111131aaaaaBB0000011111110001111111111)1(21nnAa),(),(RaaRaaSaa,传递对称定义RSabRRbcRcaSRbcRcaSbaAba,),(),(),(),(,,定义传递SScaRRcbRbaRceRebRbdRdaScbSbaAcba,),(),(),(),(),(),(,,,,))()((xQxPx)()(aPaS))()((xQxSx)()(aPaS②P③US②④