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等腰三角形考点一1．概念及分类有两边相等的三角形叫等腰三角形；有三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形．2．等腰三角形的性质(1)等腰三角形两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合，简称“三线合一”；(3)等腰(非等边)三角形是轴对称图形，它有一条对称轴．3．等腰三角形的判定(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形；(2)有两角相等的三角形是等腰三角形．等腰三角形考点二等边三角形的性质与判定1．性质：①等边三角形的内角都相等，且等于60°；②等边三角形是轴对称图形，等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴．2．判定：三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．考点三线段的中垂线1．概念：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线．2．性质：线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等．3．判定：到一条线段的两个端点距离相等的点在中垂线上，线段的中垂线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．(1)(2010·江西)已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则第三条边的长是()A．8B．7C．4D．3(2)(2010·东阳)已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为()A．40°B．100°C．40°或100°D．70°或50°(3)(2010·烟台)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连结BE，则∠CBE等于()A．80°B．70°C．60°D．50°例1(3)题例1(4)题(4)(2010·宁波)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有()A．5个B．4个C．3个D．2个【点拨】本组题主要考查等腰三角形的有关性质和判定．【解答】(1)根据“三角形任意两边之和大于第三边”知腰应为7，该三角形三边为7、7、3.故选B.(2)当40°为底角时，顶角为100°；40°也可以为顶角．故选C.(3)∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB，∴∠EBD＝∠A＝20°.∵∠A＝20°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝80°，∴∠CBE＝80°－20°＝60°，故选C.(4)等腰三角形分别是△ABC、△ABD、△BCD、△BCE、△CDE.故选A.(2009·苏州)如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD；④OB＝OC.上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形？(用序号写出各种情形)【点拨】本题考查的是判定等腰三角形的方法，可依据定义即“两条边相等”和判定定理“等角对等边”来确定，本题中出现的情况有六种①②、①③、①④、②③、②④、③④.只要能使△BOE≌△COD的条件，就能判定△ABC是等腰三角形．【解答】满足①③、①④、②③、②④，可判定△ABC是等腰三角形．1．等腰△ABC的两边长分别为2和5，则第三边的长为5.2．某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为(C)A．9cmB．12cmC．15cmD．12cm或15cm3．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为(C)A．20°B．120°C．20°或120°D．36°4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为(D)A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°5．下面给出的几种三角形：(1)有两个角为60°的三角形；(2)三个外角都相等的三角形；(3)一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；(4)有一个角为60°的等腰三角形．其中一定是等边三角形的有(B)A．4个B．3个C．2个D．1个6．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是(A)A．100°B．80°C．70°D．50°7．如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE.(1)求△ABC的面积S；(2)判断AC、DE的位置关系，并给出证明．答案：(1)S＝43(2)AC⊥DE考点训练20等腰三角形训练时间：60分钟分值：100分等腰三角形训练时间：60分钟分值：100分一、选择题(每小题4分，共44分)1．(2011中考预测题)等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是()A．9B．12C．15D．12或15【解析】当6为腰，3为底时，6＋36，此时周长为15；当6为底，3为腰时，3＋3＝6，不能组成三角形．【答案】C2．(2011中考预测题)在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于()A．30°B．40°C．45°D．36°【解析】AD＝BD，∴∠ABD＝∠A.∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2∠A，∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴∠A＋2∠A＋2∠A＝180°，∴∠A＝36°.【答案】D3．(2009中考变式题)若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为()A．75°或15°B．36°或60°C．75°D．30°【解析】注意分情况讨论：①若等腰三角形为锐角三角形，底角为75°；②若等腰三角形为钝角三角形，底角为15°.【答案】A4．(2009中考变式题)在等腰△ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为()A．7B．11C．7或11D．7或10【解析】分两种情况①AB＋AD＝15，BC＋CD＝12.求得腰AB＝10，底BC＝7.②AB＋AD＝12，BC＋CD＝15，求得腰AB＝8，底BC＝11.【答案】C5．(2011中考预测题)等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为()A．13B．14C．15D．16【解析】由等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，可求出AB＝AC＝8.∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE.∴C△BEC＝BC＋BE＋EC＝BC＋AE＋EC＝BC＋AC＝5＋8＝13.【答案】A6．(2009中考变式题)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点D、交BC于点E，AE平分∠BAC，那么下列关系式中不成立．．．的是()A．∠B＝∠CAEB．∠DEA＝∠CEAC．∠B＝∠BAED．AC＝2EC【解析】由DE垂直平分AB得EA＝EB，∴∠B＝∠BAE，又∵AE平分∠BAC，∴AE平分∠BAC，∴∠EAB＝∠CAE，∴∠B＝∠BAE＝∠CAE，因此A、C都成立．∵AE平分∠BAC，∴∠EAB＝∠CAE，又ED⊥AB，EC⊥AC，∴∠DEA＝∠CEA(等角的余角相等)，B成立．【答案】D7．(2009中考变式题)等腰三角形的底和腰是方程x2－6x＋8＝0的两根，则这个三角形的周长为()A．8B．10C．8或10D．不能确定【解析】解x2－6x＋8＝0得x1＝2，x2＝4，当2为腰时不成立，当2为底边长时，周长为2＋4＋4＝10.【答案】B8．(2009中考变式题)如图，在△ABC中，AB＝AC，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，则下列结论正确的是()A．2α＋∠A＝180°B．α＋∠A＝90°C．2α＋∠A＝90°D．α＋∠A＝180°【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.又∵BF＝CD，BD＝CE，∴△FBD≌△DCE，α＋∠EDC＝∠BFD＋∠B.∴α＝∠B.∵2∠B＋∠A＝180°，∴2α＋∠A＝180°.【答案】A9．(2010·燕山)已知等边△ABC的边长为a，则它的面积是()A.12a2B.32a2C.24a2D.34a2【解析】易求出△ABC的高为32a，∴S△ABC＝12×a×32a＝34a2.【答案】D10．(2010·临沂)如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连结BD，则BD的长为()A.3B．23C．33D．43【解析】∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝∠E＝60°，∴∠ACD＝60°，在△BCD中，BC＝DC＝4，∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝120°，∴∠DBC＝30°，∴∠BDE＝90°，在Rt△BDE中，BE＝2BC＝8，DE＝4，由勾股定理得，BD＝43，故选D.【答案】D11．(2009中考变式题)如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，在下列结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN中，正确的个数是()A．3个B．2个C．1个D．0个【解析】正确的是①②.【答案】B二、填空题(每小题4分，共16分)12．(2010·德化)若等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形顶角的度数为________．【解析】当50°为底角时，顶角为180°－50°×2＝80°；50°也可以为顶角．【答案】50°或80°13．(2010·广州)如图所示，BD是△ABC的角平分线，∠ABD＝36°，∠C＝72°，则图中的等腰三角形有________个．【解析】由于BD是△ABC的角平分线，所以∠ABC＝2∠ABD＝72°，所以∠ABC＝∠C＝72°，所以△ABC是等腰三角形，∠A＝180°－2∠ABC＝180°－2×72°＝36°，故∠A＝∠ABD，所以△ABD是等腰三角形，∠DBC＝∠ABD＝36°，∠C＝72°，可求得∠BDC＝72°，故∠BDC＝∠C，所以△BDC是等腰三角形．【答案】314．(2010·益阳)如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为AC的中点，则DE＝________.【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点．又∵E为AC的中点，∴DE为△ABC中位线，∴DE＝12AB＝＝12×8＝4.【答案】415．(2010·天津)如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则AGAF的值为________．【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ACE＝∠CBD＝60°.∵AD＝BE，∴BD＝CE.∴△BDC≌△CEA(SAS)．∴∠BCD＝∠CAE.∵∠ACF＋∠BCD＝60°，∴∠ACF＋∠CAE＝60°.而∠AFG＝∠ACF＋∠CAE，∴∠AFG＝60°.∵AG⊥CD，∴在Rt△AGF中，sin∠AFG＝AGAF，即sin60°＝AGAF＝32.【答案】32三、解答题(共40分)16．(8分)(2010中考变式题)在△ABC中，∠A＝50°，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点D，求∠DBC的度数．解：∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝65°.∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝50°.∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝65°－50°＝15°.17．(10分)(2010中考变式题)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，则BD＝12DC，请说明理由．解：理由：如图，连结AD，∵ED是AB的垂直平分线，∴BD＝AD.∴∠B＝∠1.∵AB＝AC，∠BAC＝120°.∴∠B＝∠C＝30°，∴∠1＝30°.∴∠DAC＝90°.∴AD＝12DC(在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)．∴BD＝12DC(等量代换)．18．(10分)(2010中考变式题)在等腰Rt△ABC中，P是斜边BC的中点，以P为顶点的直角的两边分别与边AB、AC交于点E、F，连结EF，当∠EPF绕顶点P旋转时(点E不与A