第二十七章薛定谔方程

薛定谔方程第二十七章薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程概述1.一维定态薛定谔方程2.定态波函数3.粒子在无限深方势阱中的波函数及能量、动量及波长4.势垒穿透隧道效应§27.1薛定谔方程一波函数及其统计解释微观粒子具有波粒二象性，其位置与动量不能同时确定，无法用经典物理方法描述其运动状态；量子力学用波函数来描述微观粒子的运动1.波函数经典波的波函数:电磁波0(,)cos2π()xExtEt0(,)cos2π()xHxtHt(,)cos2π()xyxtAt机械波经典波为实函数]eRe[),()(π2ixtAtxy微观粒子的波函数（复函数）自由粒子平面波函数:E和p分别为自由粒子的能量和动量(E=p2/2m)；自由粒子的能量和动量是确定的，频率和波长不变（=E/h，=h/p），可认为是一平面单色波自由粒子：不受外力场的作用，其动量和能量都不变的粒子,cos2()xΨxtt波函数的复指数形式：2π,exitΨxt1,22EEhpphph根据德布罗意公式有(,)iEtpxΨxte—自由粒子波函数22221222mpEmmmvv2.波函数的统计意义*2Ψ—正实数粒子某一时刻出现在某点体积元dV中的概率:2*ddΨVΨΨV概率密度:某处单位体积内粒子出现的概率波函数是粒子在各处被发现的概率，量子力学用波函数描述微观粒子的运动3.波函数的归一化条件21ΨdV即某一时刻整个空间内发现粒子的总概率为14.波函数的标准条件波函数必须是单值、连续、有限的函数二薛定谔方程自由粒子（质量为m）在势场U(x,t)中的一维薛定谔方程222,2ΨUxtΨiΨmxt称为含时一维薛定谔方程1.一维运动自由粒子的含时薛定谔方程（对自由粒子的波函数取x的二阶偏导数和t的一阶偏导数可得）222,,2ΨxtiΨxtmxt一维（设沿x向运动）自由粒子的薛定谔方程：当粒子在势场U(x,t)中运动，则有22,EpmUxt自由粒子在势场中的能量为2.一维定态薛定谔方程若势场只是坐标的函数，与时间无关，即U=U(x)，为恒定势场，则波函数为(,)()[,]iEtΨxtxeΨxtxt将代入含时一维薛定谔方程，可得的空间部分=(x)满足方程2222UxEmx—定态薛定谔方程1）=(x)称为粒子的定态波函数，所描述的粒子的状态称定态—粒子的能量E不随时间变化的状态（粒子具有确定的能量值），粒子在空间的概率分布不随时间改变；定态波函数的性质：粒子能量E不随时间变化，概率密度||2不随时间变化注意：3）做为上式的解与均满足叠加原理，即nnΨcΨcΨcΨ22111122nnccc或它们的线性组合态也是一种可能的状态；4）对于任何能量值E定态薛定谔方程都有解，需满足波函数的标准条件：单值、有限、连续3.三维定态薛定谔方程2222222()2UEmxyz—直角坐标系2222222221[(sin)2sin1]sinmrrrrUEr—球坐标系xyzor(,,)Pr势能曲线呈无限深的井，称为（一维）无限深方势阱—简单的理论模型(固体物理金属中自由电子的简化模型)；势阱内，势能为常量，粒子不受力做自由运动；在x=0和x=a的边界处，势能为无限大，粒子会受到无限大的指向阱内的力作用；所以粒子的位置限定在势阱内，粒子的这种状态称为束缚态§27.2无限深方势阱中的粒子一无限深方势阱粒子在简单外力场中做一维运动，势能函数为U000,xaxxaUU0ax势能曲线1.无限深方势阱2.无限深方势阱中粒子的波函数2222UxEmx一维定态薛定谔方程势阱外：x0，xa区域(边界条件)，U=∞，不会有粒子存在，则0,0,xxa势阱内：0≤x≤a区域，U=0，则有方程22220mEx令2222mEmEkk2220kx2220kx与简谐运动方程比较，解为2220dxxdtsin(),0Akxxa波函数的标准条件：单值、有限和连续，则波函数在x=0，x=a处连续，即0:sin00xA:sin0,1,2,...xaAkakannknasin,1,2,...nAxna归一化条件确定振幅A：2*01adxdx22200sin1aanπdxAxdxa1dπsin022xxanAa2a21cos2sin22Aa可得粒子在无限深方势阱中的波函数为2sin,1,2,...nnxnaan表示对应整数n，粒子的相应定态波函数二粒子在无限深方势阱中的能量2,,1,2,...mEnkkna2222,1,2,...2Ennma可得粒子的能量为上式表明，粒子在无限深方势阱中的能量是量子化的,只能取分立值；每一能量值对应一个能级，称为能量本征值，n称为量子数粒子的全部波函数为(,)exp(2)nnΨxtiEth称为能量本征波函数，每个本征波函数所描述的粒子的状态称为粒子的能量本征态(,)()iEtnnΨxtxe基态能量2212(1)2Enma激发态能量22221112,(2,3,)4,9,2nEnnEnEEma三波函数与坐标的关系概率密度222π()sin()nnxxaan2()nx4n3n2n16E19E14E1E1a1n0xxnE2a基态n2.粒子在势阱中各处出现的概率不同（n～x-蓝色实线）1.粒子在势阱中各处出现的概率密度不同(|n|2～x-红色虚线)2sinnnxaan=1时，粒子在x=a/2处出现的概率最大222nEnma,20nnnEEn结论：当n很大时，能量趋于连续，即经典物理的图像2,2nnpnEkma2nnpmEnka3.粒子在势阱中运动的动量n2()x4n3n2n16E19E14E1E1a1n0xxnE2a基态n根据典理论，粒子在势阱内来回的周期性自由运动，在各处概率密度应完全相同，且与粒子的能量无关2222,1,2,...2nEnnma粒子的德布罗意波长22,1,2,...nnhanpnk波长也是量子化的，为势阱宽度2倍的整数分之一n与两端固定弦的驻波波长形式相同（见P158式n=2L/n）nkan2()nx4n3n2n16E19E14E1E1a1n0xxnE2a基态12a2a323a42aL12233212L2L323L弦线振动的简正模式无限深方阱壁粒子的每一个能量本征态对应德布罗意波的一个特定波长的驻波；波函数为驻波形式，阱壁处为波节，波腹的个数与量子数n相等n2()nx4n3n2n16E19E14E1E1a1n0xxnE2a基态12a2a323a42a例27.2核内的质子和中子可认为处于无限深势阱中不能逸出，在核中是自由运动；估算质子从第一激发态（n=2）到基态（n=1）转变时放出多少MeV的能量。核的线度为1.0×10-14m。解：势阱宽度a即核的线度，则质子基态能量222342131227142(1.0510)3.310221.6710(1.010)pEJma第一激发态能量1321413.210EEJ13219.9106.2EEEJMeV18196(16.251011.610110)JeVeVJMeVeV作业：4,8§27.3势垒穿透隧道效应一半无限深方势阱势能函数为U0,00,0,xxaUxa在x0区域，U=∞，粒子的波函数=0在0≤x≤a区域的势阱内，粒子的能量EU0，波函数满足定态薛定谔方程2220,2kkmEx其解仍为1sin(),0Akxxa势能曲线Ux0UEoa0UE在xa的区域，薛定谔方程为02()kmUE，令有方程的解为2kxkxCeDe20222dmUEdx222kx22022UEmx波函数有限，即应满足x→∞时有限，则有D=02kxCe波函数应满足在x=a处连续，则有sin()kaAkaCe还有，d/dt在x=a处也应连续，又有cos()kakAkakCe波函数的连续性条件x,ddx在边界连续上两式结果表明：束缚在势阱内的粒子（EU0）的能量仍是量子化的（能量本征值与前面不同，计算复杂略）根据经典理论，当粒子能量EU0时，粒子只能在0≤x≤a的势阱内运动不可能进入xa区域，因为粒子在这一区域的动能会出现负值（Ek=E-U00）；量子力学的结论：在势能大于粒子能量（U0E）的区域内，粒子仍有一定的概率密度，即粒子可以进入这一区域，只不过概率密度随着进入的深度很快减小在xa的势能有限的区域，粒子出现的概率不为零，即粒子的运动可能进入这一区域，但概率随x增大按指数规律衰减（）2kxCen2()nxE2E1a0U0xxE30U量子力学对粒子动能出现负值的解释—不确定关系：粒子在EU0区域（xa）的概率密度为2222kxCe当x=1/2k’时，此处粒子的概率已降为1/e，可视为粒子进入该区域的深度，则认为在该区域内发现粒子的位置不确定度x为01222()xkmUE粒子在x距离内的动量不确定度为02()2pmUEx粒子进入该区域的速度为02()UEpmmvv2xxp则粒子进入的时间不确定度为0002()4()22()xmtUEUEmUEv根据能量-时间的不确定关系，粒子能量的不确定度为2Et02()2EUEt粒子总能量为E+E，则粒子动能的不确定度为粒子动能的不确定度大于名义上的负动能的值←负动能被不确定关系掩盖，负动能只是观察不到的“虚”动能00kEEEUUE0UE二势垒穿透隧道效应粒子能进入U0E的区域，若这一高势能区域是有限的，即粒子在运动时被一势垒阻碍，粒子有可能穿过势垒到达势垒的另一侧，这一量子力学现象称为势垒穿透或隧道效应0UxaoⅡⅢⅠxU333sinkxAⅢ区：各区域波函数：111sinkxAⅠ区：2kxCeⅡ区：232ax粒子在势垒右侧出现的概率密度：2011x粒子在势垒左侧出现的概率密度：结论：粒子在势垒内部和外部都有出现的可能当粒子能量EU0时，经典理论认为粒子不可能穿过势垒进入xa的区域；量子力学分析，粒子有一定概率穿透势垒，事实表明，量子力学正确粒子的能量虽不足以超越势垒，但在势垒中似乎有一个隧道,能使少量粒子穿过而进入xa的区域，形象的称为隧道效应应用：扫描隧穿（道）显微镜（STM）1981年宾尼希和罗雷尔利用电子的隧道效应制成了扫描遂穿显微镜(STM)，可观测固体表面原子排列的状况扫描隧道显微镜探针样品表面§27.4谐振子一维简谐振子微观领域中原子和分子的振动、晶格的振动等，都可以近似地用简谐振子模型来描述；一维简谐振子的势能函数为22211,22Ukxmxkm一维简谐振子的经典模型讨论粒子在略复杂的势场中做一维运动，即一维谐振子的运动一维简谐振子的薛定谔方程为2222221()02dmEmxdx为变系数二阶偏微分方程U基态波函数解：22mxBe各激发态波函数均包含因子：22mxe波函数需满足单值、连续和有限的标准条件，则谐振子能量只能