量子力学01一维无限深方势阱中的粒子

1第一章IV.一维无限深方势阱中的粒子态叠加原理一维谐振子方势垒的反射与透射2O、简短回顾一、一维无限深方势阱中的能量本征态二、态叠加原理三、一维谐振子射四、方势垒的反射与透五、正交、归一、完备系3简短回顾（1）测不准关系，粒子的位置和动量不能同时被确定；小，就大，反之也然。每个力学量对应一算符，平均值为粒子的波函数，满足薛定谔方程),()],(2[),(22trtrVmtrtix*ˆ(,)(,)FrtFrtdrˆFxpF4简短回顾（2）定态：不显含t，能量恒定定态方程不显含t时的形式，是我们后面讨论大多数物理问题的情况，为方便，通常将略去中的下标E。)()()](2[22rErrVmEE(,)()exp(/)ErtriEtE()Vr()Er()Vr5简短回顾（3）力学量算符动量算符动能算符哈密顿算符能量算符角动量算符22ˆ,2Tmˆˆlrpir2222222zyx22ˆˆ()2HTVVrmipˆˆEit6作业：论文写一篇关于对波粒二像性的理解和看法的论文，题目可以自定，必须包含如下关键词：1.波粒二像性，2.互补原理，3.测不准关系。字数：在3000左右7一、一维无限深方势阱中的能量本征态(1)1、势函数如果在，由能量本征方程，有其解为，其中由边界条件和，有和，波函数为.,0,;0,0)()(axxaxxVrV)(xVxa0ax00)(2)(222xmExdxd)sin()(kxAx/2mEk0)0(0)(a00)sin(ka)sin()()(xanAxxnnka,,3,2,1n)0(ax22[()]()()2VrrErm8一、一维无限深方势阱中的能量本征态(2)2、能量量子化由，和得到，这说明，一维无限深方势阱中的粒子的能量是量子化的。称为体系的能量本征值，与对应的波函数称为能量本征函数。nka,,3,2,1n/2mEk22222manEEn,,3,2,1nnEnEn9一、一维无限深方势阱中的能量本征态(3)3、归一化波函数将波函数进行归一化：即令，得到归一化波函数为)sin()(xanAxn)0(ax1|)(|20dxxnaaA/2||,3,2,1.,0,0;0),sin(2)(naxxaxaxnaxn10一、一维无限深方势阱中的能量本征态(4)在内，有个节点，在这些节点上，说明粒子在这些节点上出现的概率为零。对于经典粒子来说，它在内任何一点都有可能出现。()sin()nnxAxa1nnx()sin()0nnnnxAxaax0ax011一、一维无限深方势阱中的能量本征态(4)最低能量经典粒子，可以有局域化越强，即越小，则越大。非均匀分布正交性和完备性022221maE0Ea1EnE2212(21)2nnnEEEnma()nx*0amnmndx1()()nnnxcx12二、态叠加原理（1）量子力学的基本假设为1、微观粒子的状态由波函数描写。2、波函数的模方表示t时刻粒子出现在空间点(x,y,z)的概率。3、力学量用算符表示。4、波函数的运动满足薛定谔方程。5、态叠加原理。),(tr2|),(|tr13二、态叠加原理（2）粒子在势阱中可能的态和能量为但一般情况下，粒子并不只是完全处于其中的某一状态，而是以某种概率处于其中的某一状态。换句话说，粒子的状态是所有这些分立状态的叠加，即2sin(),0;()1,2,3,,0,0,.nnxxaxnaaxxa22222manEEn)()(xcxnnn14二、态叠加原理（3）粒子的状态为，其中，更加抽象地说，任何一个量子态都可按任意一组正交、归一、完备态分解。,3,2,1.,0,0;0),sin(2)(naxxaxaxnaxn22222manEEn)()(xcxnnn的概率能量具有中发现粒子处于态表示在态nnnExxc),()(||2nnnc15量子力学的基本假设1、量子态由波函数描写。2、波函数的模方代表概率，即具有统计解释。3、力学量用算符表示。4、波函数的运动满足薛定格方程。5、态叠加原理：量子态可按任意一组正交、归一、完备态分解。16三、一维谐振子(1)1、能量本征方程简谐运动：体系在平衡位置附件的微小振动一维谐振子：粒子一维情况下的简谐运动，同时粒子的势能可以表示为例如，双原子分子中两原子之间的势能一维谐振子的能量本征方程2)(2KxxV2)()(20axKVxVa)(xV0x0)()21(2)(2222xEKxmxdxd，令mK，mx)/(21E0)(222dd得到17三、一维谐振子(2)2、能量本征方程的解当时，有其解能量本征方程的解可表示为其中，为待求函数，代入能量本征方程，有当时，要求，可以证明，只有当，才有可能，此时(1)式的解为厄密多项式：0)(222dd,,222dd2/2~e)()(2/2uAe)(u)1(0)1(222uddudud0)(.,2,1,0,12nn.,2,1,0,)1()()(22neddeHunnnn18三、一维谐振子(3)3、能量本征值因为同时故讨论(1)能级是均匀分布的；(2)相邻能级差相同：；(3)基态能量，称为零点能；(4)谐振子吸收能量后，有可能从下能级跃迁到上能级。相反，放出能量后，有可能从上能级跃迁到下能级。)/(21E.,2,1,0,12nn.,2,1,0,)2/1(nnEEn012302/0E19三、一维谐振子(4)4、能量本征态（1）因为，其中，要根据的归一化条件确定，即由于得到能量本征态正交归一化)()(2/2HAe.,2,1,0,)1()(22neddeHnnnnmnnnmndeHH!2)()(2nmnmmn,0,1A)(1)(||)()(222*deHAdn21)]!2/([naAAnnma22/2()()()axnnnAeHaxmnnmdxxx)()(20三、一维谐振子(5)4、能量本征态（2）最低三条能级上的波函数为2/0E2/31E2/52E2/4/1022)(xaeax2/4/11222)(xaaxeax2/224/1222)12(21)(xaexaax2|)(|xn012n0x21四、方势垒的反射与透射(1)经典粒子有三种情况：微观粒子21()2mvEVx.,0,0;0,)(0axxaxVxVEa00V22[()]()()2VrrErm能量本征方程000(1);(2);(3)EVEVEV22四、方势垒的反射与透射(2)其解为粒子流密度反射系数，透射系数0,()0xxaVx1）在，有222()()02dxkxkmEdx故有，这里.,0,Re)()(axTexexxikxikxikx＝＝＋透反入外ikxTeikxeikxRea00Vmvkpmitrj以及)(2),(**/;jkmv入2|R|;jv反vTj2||透2|R|/入反jj2|T|/入透jj)()()](2[22rErrVm方程23四、方势垒的反射与透射(3)解00()xaVxV2）在，20222()0dmEVdx2202()/mEV这里()()ixixxxAeBe内ikxeikxRea00VikxTe)0()0(内外()()aa内外)0()0(内外dxddxd()()ddaadxdx内外1RAB(1)()ikRiABiaiaikaAeBeTe()aaikaiAeBeikTe24四、方势垒的反射与透射(4)解代数方程，得到对情形：2222()sin()()sin()2cos()kaRkaika222()sin()2cos()ikakeTikaika0EV200,2()/mVE2－sin()sin()sin(),cos()cos()aiaihaaha2222()sinh()()sinh()2cosh()kaRkaika222()sinh()2cosh()ikakeTikaika25四、方势垒的反射与透射(5)势垒贯穿情形：几率守恒1||||22TR0EV2222222224||()sin()4kTkak－22222222222()sin()|R|()sin()4kakak－－02,2()kmEmEV这里26四、方势垒的反射与透射(6)隧穿效应：222222222()sin()||()sin()4khaRkhak22||||1RT222222224||()sin()4kTkhakikxTeikxikxeRe0Va0入射波反射波透射波0EV02()mVE27四、方势垒的反射与透射(7)特殊情形：解22||||1RT224||4()Tka0EV()xCxD内220ddx内222()||4()kaRka28四、方势垒的反射与透射(5)电子的势垒贯穿12510当势垒宽度为原子限度时，透射相当可观kgm31101.9Js34101.1JEV190108)10A(10oma2||T1.02102.15107.110100.3ikxeikxRea00V