2波动方程03-弦振动方程初值问题的求解

一、问题求解一维波动方程的Cauchy问题：2.2解的表达式22222(,),,0,uuuafxtxttx∂∂=−=∈∂∂R　(1)(,0)(),,uxxxϕ=∈R(,0)(),.tuxxxψ=∈R二、求形式解由上节讨论，我们只须求解以下问题：222220,,0,uuuaxttx∂∂=−=∈∂∂R(3)(,0)0,,uxx=∈R(,0)(),.tuxxxψ=∈R(2)(4)我们这里介绍两种解法：解法1：特征线法（这是教材上的解法。）第一步：将算子分解。22222,aaatxtxtx∂∂∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞−=+−⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠≡　即，22222uuuatx∂∂−∂∂≡　uuuuaaattxxtx∂∂∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞=−+−⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠uuaatxtx∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞=+−⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠aautxtx∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞=+−⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠注意，这里a是常数。令则由方程0uaautxtx∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞+−=⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠≡　得，,uuavtx∂∂−=∂∂　uuvatx∂∂=−∂∂这就将一个二阶方程化为两个一阶方程。0.vvatx∂∂+=∂∂　　再由初始条件得：(,0)0,ux=0(,0)tuuvxatx=∂∂⎡⎤=−⎢⎥∂∂⎣⎦(),xψ=xt0u=0u=tuψ=因此，问题化为求解两个一阶线性方程的Cauchy问题：,,0;uuavxttx∂∂−=−∞+∞∂∂　{0,,0;vvaxttx∂∂+=−∞+∞∂∂　{(,0)0,.uxx=−∞+∞(,0)(),.vxxxψ=−∞+∞因此，可用特征线法先求出,v再求出,u就得到所求解的表达式。解法2：①，先求方程0u=的通解。由课本第31页练习16的结论，方程2=0ttxxuuau−=在变换,xatξ=−;xatη=+{　或,2xξη+=;2taηξ−={　下化为0,uξη=积分两次得：()(),uFGξη=+其中F和G为2()CR上的任意函数。于是，()(),uFxatGxat=−++总结其中F和G为2()CR上的任意函数。()(),uFxatGxat=−++2=0ttxxuuau−=方程的通解为：(,)()(),uxtFxatGxat=−++我们只要利用初始条件来确定这两个函数，即可得出问题(2)(3)(4)之解。[]00(,)()()ttuxtFxatGxat===−++[]00(,)()()tttuxtaFxataGxat==′′=−−++()()0,FxGx=+=(5)'()'()(),aFxaGxxψ=−+=(6)(6)对在积分得：x[0,]x0()()()(0)(0),xaFxaGxsdsaFaGψ−+=−+∫(7)②，由通解求Cauchy问题的解。由(5)(7)解得：01(0)(0)()(),22xFGFxsdsaψ−=−+∫01(0)(0)()(),22xFGGxsdsaψ−=−∫于是得：(,)()()uxtFxatGxat=−++0011()()22xatxatsdssdsaaψψ−+=−+∫∫0011()()22xatxatsdssdsaaψψ+−=+∫∫1(),2xatxatsdsaψ+−=∫即：21(,)(,)(),2xatxatuxtMxtsdsaψψ+−==∫()300()1(,)(,)()2xatttfxatuxtMxtdfsdsdaτττττττ+−−−⎡⎤=−=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∫∫∫1(,)1(,)()2xatxatMxtuxtsdsttaϕϕ+−∂⎡⎤∂==⎢⎥∂∂⎣⎦∫()()2xatxatϕϕ++−=()0()1(,).2xattxatfsdsdaττττ+−−−⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∫∫因此得问题(1)之解为：123(,)(,)(,)(,)uxtuxtuxtuxt=++()()1()22xatxatxatxatsdsaϕϕψ+−++−=+∫()0()1(,).2xattxatfsdsdaττττ+−−−⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦∫∫(8)三、验证前面所得的解表达式仅仅为问题(1)的形式解，是我们在不考虑各种运算合理性情况下推得的，其合法性尚需验证。定理2.2若211(,),(,),()CCfCQϕψ∈−∞∞∈−∞∞∈这里{}(,),0,Qxtxt=−∞∞则由表达式(8)给出的函数必为，且是定解问题(1)之解。u2()CQ定理证明思路：1.计算函数的二阶导数，从而证明函数具有连续的二阶导数。uu2.证明函数满足方程及初始条件。u四、性质推论若为的偶(奇，周期)函数，则由表达式(8)给出的函数也必为的偶(奇，周期)函数。fϕψ、、uxx注意这里我们只能说表达式(8)给出的函数，而不能说定解问题(1)的解，这是因为我们还不知道问题是否有其它解，一旦证明问题之解为唯一，我们可以说问题之解满足这一性质。证明：以奇函数为例加以证明。当为的奇函数，则fϕψ、、x(,)uxt−()()1()22xatxatxatxatsdsaϕϕψ−+−−−++−−=+∫()0()1(,)2xattxatfsdsdaττττ−+−−−−⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦∫∫()()1()22xatxatxatxatsdsaϕϕψ−+++−=−−−∫()0()1(,).2xattxatfsdsdaττττ−−+−⎡⎤−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦∫∫()()1()22xatxatxatxatsdsaϕϕψ+−++−=−−∫()0()1(,)2xattxatfsdsdaττττ+−−−⎡⎤−⎢⎥⎢⎥⎣⎦∫∫(,).uxt=−证毕。作业1，Page109,4；（提示：作变换）()vhxu=−2，Page109,8；（提示：分解为三个一维问题）