4.4平行四边形的判定定理(2)

平行四边形有哪些性质？Ⅰ.边:Ⅱ.角:Ⅲ.对角线:平行四边形对角线互相平分.DACB我们学过平行四边形有哪些判定方法？从边看:的四边形是平行四边形两组对边分别平行两组对边分别相等一组对边平行且相等问题：判定一个四边形是平行四边形是否还有其它的方法？平行四边形对边平行且相等平行四边形对角相等、邻角互补ⅳ.平行四边形的中心对称性工具：两根长度不相等的细线.(2)以两根中点重叠的细线为对角线的四边形是平行四边形吗？试一试:问题：(3)你怎样用理论验证你的猜想呢?⑴以两根细线为对角线的四边形是平行四边形吗？BCADO已知:如图,四边形对角线相交于点o,且OA=OC，OB=OD.求证:四边形ABCD是平行四边形证明：在△AOB和△COD中∴△AOB≌△COD(SAS)∴AB=CD同理：AD=CB∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形。）OA=OCOB=OD∠AOB=∠COD∵AO=OC，OB=OD。∴四边形ABCD是平行四边形DABCO对角线互相平分的四边形是平行四边形.几何语言：从边看:平行四边形的五个判定方法两组对边分别平行两组对边分别相等一组对边平行且相等的四边形是平行四边形从角看:两组对角分别相等从对角线看:两条对角线互相平分例、已知：如图，E，F是ABCD的对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF求证：四边形AECF是平行四边形。ABCDEFO证明:连结AC,交BD于点O∵AB∥CD在ABCD中，BO=DO，AO=CO∴∠ABE=∠CDF又∵∠BAE=∠CDF，AB=CD∴△ABE≌△CDF∴BE=DF∴BO-BE=DO-DF，即EO=FO∴四边形AECF是平行四边形变式1:已知：如图,在ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F。求证：四边形AECF是平行四边形。ABCDEF变式2:已知：如图，在ABCD中，Ｅ，Ｆ是对角线ＢＤ上的两点，且BＥ＝ＤＦ．求证：四边形AECF是平行四边FEDCBAO讨论：根据现有条件，说说你准备选用哪种方法证明？大概的步骤是怎样的？1)1,D(),2,3C(1),1,B(),2,3A(如图四边形ABCD是不是平行四边形？请给出证明.ABCDxyo-1-1112233)关于原点O对称2,3C(与)2,3A(对称原点O关于与1)1,D(1)1,B(∴Ｏ平分ＡＣ，Ｏ平分ＢＤ连接对角线ＡＣ，ＢＤ则有ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形任意画一个三角形和三角形一边上的中线。比较这条中线的二倍与三角形另外两边的和的大小，你发现了什么?再画几个三角形试一试，你发现的规律仍然成立吗?试证明你的发现。发现：三角形一条边上的中线的2倍小于另两条边的和。E已知：如图，AD是⊿ABC的中线，求证：2ADAB+AC证明：如图，延长AD至E,使ED=AD.连结BE,EC.∵BD=CD,∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。∴AB=CE(平行四边形的两组对边分别相等)。∵AC+CEAE,∴AB+AC2AD,即2ADAB+AC.DCBA