南京盐城市2017届高三二模数学试卷

数学试卷第1页共16页南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学2017．03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答．题卡．．相应位置．．．．上．1．函数f(x)＝ln11－x的定义域为▲．2．若复数z满足z(1－i)＝2i（i是虚数单位），－z是z的共轭复数，则z·－z＝▲．3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为▲．4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：不喜欢戏剧喜欢戏剧男性青年观众4010女性青年观众4060现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n的值为▲．5．根据如图所示的伪代码，输出S的值为▲．6．记公比为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn．若a1＝1，S4－5S2＝0，则S5的值为▲．7．将函数f(x)＝sinx的图象向右平移π3个单位后得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝f(x)＋g(x)的最大值为▲．8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－3，则线段PF的长为▲．（第5题图）S←1I←1WhileI≤8S←S＋II←I＋2EndWhilePrintS数学试卷第2页共16页9．若sin(α－π6)＝35，α∈(0，π2)，则cosα的值为▲．10．α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是▲（填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，mα，则m∥β；②若m∥α，nα，则m∥n；③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β．11．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为▲．12．若函数f(x)＝x2－mcosx＋m2＋3m－8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为▲．13．已知平面向量→AC＝(1，2)，→BD＝(－2，2)，则→AB•→CD的最小值为▲．14．已知函数f(x)＝lnx＋(e－a)x－b，其中e为自然对数的底数．若不等式f(x)≤0恒成立，则ba的最小值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答．题卡．．指定区域内．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，DC＝2．（1）若AD⊥BC，求∠BAC的大小；（2）若∠ABC＝π4，求△ADC的面积．ABCD（第15题图2）（第15题图1）DCBA数学试卷第3页共16页16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．（1）求证：CD⊥AP；（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB；17．（本小题满分14分）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．（1）当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．（第17题图）DCBA（第16题图）PDCBA数学试卷第4页共16页18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：x28＋y2b2＝1经过点(b，2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(1，0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求AT·BTMN2的值；（3）记直线l与y轴的交点为P．若AP→＝25TB→，求直线l的斜率k．19．（本小题满分16分）已知函数f(x)＝ex－ax－1，其中e为自然对数的底数，a∈R．（1）若a＝e，函数g(x)＝(2－e)x．①求函数h(x)＝f(x)－g(x)的单调区间；②若函数F(x)＝f(x)，x≤m，g(x)，x＞m的值域为R，求实数m的取值范围；（2）若存在实数x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝f(x2)，且|x1－x2|≥1，求证：e－1≤a≤e2－e．20．（本小题满分16分）已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足(n＋1)bn＝an＋1－Snn，(n＋2)cn＝an＋1＋an＋22－Snn，其中n∈N*．（1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．xyOABPTMN（第18题图）数学试卷第5页共16页南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学附加题2017．03注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC的顶点A，C在圆O上，B在圆外，线段AB与圆O交于点M．（1）若BC是圆O的切线，且AB＝8，BC＝4，求线段AM的长度；（2）若线段BC与圆O交于另一点N，且AB＝2AC，求证：BN＝2MN．B．选修4—2：矩阵与变换设a，b∈R．若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A=30－1b对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x＋y－91＝0．求实数a，b的值．C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＝1＋35t，y＝45t(t为参数)，与曲线C：x＝4k2，y＝4k(k为参数)交于A，B两点，求线段AB的长．ACBMOABCOMN（第21(A)图）数学试卷第6页共16页D．选修4—5：不等式选讲设a≠b，求证：a4＋6a2b2＋b4＞4ab(a2＋b2)．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A＝AB＝2，∠ABC＝π3，E，F分别是BC，A1C的中点．（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；（2）点M在线段A1D上，A1MA1D＝λ．若CM∥平面AEF，求实数λ的值．23．（本小题满分10分）现有n(n＋1)2（n≥2，n∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：*…………………第1行**…………………第2行***…………………第3行………………………………**…………**…………………第n行设Mk是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*．记M1＜M2＜…＜Mn的概率为pn．（1）求p2的值；（2）证明：pn＞C2n＋1(n＋1)!．D1C1B1MFEDCBAA1（第22题图）数学试卷第7页共16页南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．(－∞，1)2．23．234．305．176．317．38．69．43－31010．①④11．3212．{2}13．－9414．－1e二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）解：（1）设∠BAD＝α，∠DAC＝β．因为AD⊥BC，AD＝6，BD＝3，DC＝2，所以tanα＝12，tanβ＝13，…………………2分所以tan∠BAC＝tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝12＋131－12×13＝1．…………………4分又∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝π4．…………………6分（2）设∠BAD＝α．在△ABD中，∠ABC＝π4，AD＝6，BD＝3．由正弦定理得ADsinπ4＝BDsinα，解得sinα＝24．…………………8分因为AD＞BD，所以α为锐角，从而cosα＝1－sin2α＝144．…………………10分因此sin∠ADC＝sin(α＋π4)＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝22(24＋144)＝1＋74．…………………12分△ADC的面积S＝12×AD×DC·sin∠ADC＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)．…………………14分数学试卷第8页共16页16．（本小题满分14分）证明：（1）因为AD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，所以AD⊥AP．…………………2分又因为AP⊥AB，AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD．…………………4分因为CD⊂平面ABCD，所以CD⊥AP．…………………6分（2）因为CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP＝P，PD⊂平面PAD，AP⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．①…………………8分因为AD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，所以AB⊥AD．又因为AP⊥AB，AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD．②…………………10分由①②得CD∥AB，…………………12分因为CD/平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CD∥平面PAB．…………………14分17．（本小题满分14分）解：（1）因为矩形纸板ABCD的面积为3600，故当a＝90时，b＝40，从而包装盒子的侧面积S＝2×x(90－2x)＋2×x(40－2x)＝－8x2＋260x，x∈(0，20)．…………………3分因为S＝－8x2＋260x＝－8(x－654)2＋42252，故当x＝654时，侧面积最大，最大值为42252平方厘米．答：当x＝654时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米．…………………6分（2）包装盒子的体积V＝(a－2x)(b－2x)x＝x[ab－2(a＋b)x＋4x2]，x∈(0，b2)，b≤60．……………8分V＝x[ab－2(a＋b)x＋4x2]≤x(ab－4abx＋4x2)＝x(3600－240x＋4x2)数学试卷第9页共16页＝4x3－240x2＋3600x．…………………10分当且仅当a＝b＝60时等号成立．设f(x)＝4x3－240x2＋3600x，x∈(0，30)．则f′(x)＝12(x－10)(x－30)．于是当0＜x＜10时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0，10)上单调递增；当10＜x＜30时，f′(x)＜0，所以f(x)在(10，30)上单调递减．因此当x＝10时，f(x)有最大值f(10)＝16000，………………12分此时a＝b＝60，x＝10．答：当a＝b＝60，x＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．………………14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆x28＋y2b2＝1经过点(b，2e)，所以b28＋4e2b2＝1．因为e2＝c2a2＝c28，所以b28＋c22b2＝1．因为a2＝b2＋c2，所以b28＋8－b22b2＝1．……………………2分整理得b4－12b2＋32＝0，解得b2＝4或b2＝8(舍)．所以椭圆C的方程为x28＋y24＝1．……………………4分（2）