因数和倍数难题

第二讲约数与倍数基础知识分解质因数的方法，掌握约数个数和约数和的求法和具体意义。设自然数n的质因子分解式如n=p11a×p22a×...×pkak那么：n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)n的所有约数和：（1+P1+P12+…p11a）（1+P2+P22+…p22a）…（1+Pk+Pk2+…pkak）最大公约数和最小公倍数的求法。短除法，分解质因数法，辗转相除法。分数最小公倍数和最大公约数的求法。约数与倍数的相关性质：两（多）个数的公约数是它们最大公约数的约数；两（多）个数的公倍数是它们最小公倍数的倍数；],[,),(bababa；bababa],[),(。例题1.求)142,68(；142],68[；)5243,0182,160(；]5243,0182,160[。分析与解答：)142,68(＝2，142],68[＝4828)5243,0182,160(＝4]5243,0182,160[＝153646402.分数36111、14439、22017的最大公约数是________；最小公倍数是________；。分析与解答：（36111、14439、22017）＝712801[36111、14439、22017]＝4311613.180一共有________个约数；这些约数的和是________；720有________个奇约数；这些奇约数的和是________；分析与解答：因为180＝22×32×5180的约数个数为：（2＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝18个。180的约数的和为：（1＋2＋4）×（1＋3＋9）×（1＋5）＝546因为720＝24×32×5720的奇约数的个数为：（2＋1）×（1＋1）＝6720的奇约数的和为：（1＋3＋9）×（1＋5）＝784.1~20中，有________个数的约数之和是4的倍数；分析与解答：3，（1+3）；6，（1+2）×（1+3）；12，（1+3）×（1+2+4）7，（1+7）；14，（1+7）×（1+2）；11，（1+11）；19，（1+19）15，（1+3）×（1+5）共有8个。5.7663和81的最大公约数最大是________，最小公倍数最小是________；分析与解答：7663＝79×978148＝97×84.所以最大公约数最大是97.因为79×103＝81378148＝97×84，所以最小公倍数最小是79×97×84＝6436926.两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是540。这样的自然数一共有________组；分析与解答：设这两个数是6a，6b，且（a,b）=1.那么6ab＝540，可得ab=90.a=1,b=90或a=2,b=45或a=5,b=18或a=9,b=10.共四组。7.两个自然数的和是99，它们最大公约数和最小公倍数的和是231，那么这两个数分别是________、________；分析与解答：设这两数的最大公约数是m,这两数分别为ma,mb.最小公倍数是mab，那么ma＋mb＝m(a+b)=99m+mab=m(1+ab)=231从以上式子可看出：m为99与231的公约数，且m必为奇数。所以m=1,3,5,9,231.（99，231）＝33，所以m为33的约数，m=33，11，3.这样就可以得到：当m=33时，a+b=3,1+ab=7，不成立。当m=11时，a+b=9,1+ab=21,此时a=4,b=5.所以这两个数分别是44，55.8.5位同学,每位同学都有编号,他们是1号到15号,1号同学写了一个自然数,2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被他的编号数整除.1号作了检验:只有编号连续的二位同学说得不对,其余同学都对,问:(1)说的不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你,1号写的数是五位数,请找出这个数.分析与解答：(1)根据2号~15号同学所述结论同学所述结论,将合数学4,6,…，15分解质因数后，由1号同学验证结果，进行分析推理得出问题的结论.4=22,6=23,8=23,9=32,10=25,12=223,14=27,15=35由此不难断定说得不对的两个同学的编号是8与9两个连续自然数(可逐次排除,只有8与9满足要求).(2)1号同学所写的自然数能被2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15这12个数整除,也就是它们的公倍数.它们的最小公倍数是223571113=60060因为60060是一位五位数,而这12个数的其他公倍数均不是五位数,所以1号同学写的五位数是60060.9.已知a与b的最大公约数是12,a与c的最小公倍数是300,b与c的最小公倍数也是300,那么满足上述条件的自然数a,b,c共有多少组?(例如:a=12、b=300、c=300，与a=300、b=12、c=300是不同的两个自然数组)分析与解答：先将12、300分别进行质因数分解：12=223300=22352(1)确定a的值.依题意a只能取12或125(=60)或1225(=300).(2)确定b的值.当a=12时,b可取12,或125,或1225；当a=60,300时，b都只能取12.所以,满足条件的a、b共有5组：a=12a=12a=12a=60a=300b=12,b=60,b=300,b=12,b=12.(3)确定a,b,c的组数.对于上面a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：52，522，5222，523，5223，52223，即25，50，100，75，150，300.所以满足条件的自然数a、b、c共有56=30（组）习题：1.用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块_____块.分析与解答：依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最小公倍数是126.所以,至少需要这种长方体木块769126126126=142118=5292(块)2.一个公共汽车站,发出五路车,这五路车分别为每隔3、5、9、15、10分钟发一次，第一次同时发车以后，_____分钟又同时发第二次车.分析与解答：依题意知,从第一次同时发车到第二次同时发车的时间是3,5,9,15和10的最小公倍数.因为3,5,9,15和10的最小公倍数是90,所以从第一次同时发车后90分钟又同时发第二次车.3.动物园的饲养员给三群猴子分花生,如只分给第一群,则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒.那么平均给三群猴子,每只可得_____粒.分析与解答：依题意得花生总粒数=12第一群猴子只数=15第二群猴子只数=20第三群猴子只数由此可知,花生总粒数是12,15,20的公倍数,其最小公倍数是60.花生总粒数是60,120,180,……，那么第一群猴子只数是5，10，15，……第二群猴子只数是4，8，12，……第三群猴子只数是3，6，9，……所以，三群猴子的总只数是12，24，36，…….因此,平均分给三群猴子,每只猴子所得花生粒数总是5粒.