初中数学变式教学.

一、对变式教学的理解数学变式教学，是指通过不同角度、不同的侧面、不同的背景，从多个方面变更所提供的数学对象或数学问题的呈现形式，使事物的非本质特征发生变化而本质特征保持不变的教学形式.1.1数学变式教学的本质含义一、对变式教学的理解1.2初中数学变式教学的意义★初中数学变式教学，对提高学生的思维能力、应变能力是大有益处．★变式教学在教学过程中不仅是对基础知识、基本技能和思维的训练，而且也是有效实现新课程三维教学目标的重要途径．一、对变式教学的理解【案例1】在“坐标系内的图形对称”的中考专题复习课中，笔者设计了如下的题目题目点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是；关于y轴对称的点的坐标是；关于原点对称的点的坐标是.变式1直线y=2x-1关于x轴对称的直线的解析式是；关于y轴对称的直线的解析式是；关于原点对称的直线的解析式是.变式2将直线y=2x-1改为双曲线y=1/x，其它不变.变式3将直线y=2x-1改为抛物线y=3x2+2x-1，其它不变.变式4上述函数图象关于x轴对称的有；…231(1)3;(2);(3)2;(4);(5)2.yxyxyxyyxx一、对变式教学的理解【案例2】浙教版七（上）7.8平行线：课内练习第3题：如图，在△ABC中，P是AC边上的一点，过点P分别画AB，BC的平行线.PCBAABCPQR二、变式教学要遵循的原则2.3参与性原则2.1针对性原则2.2可行性原则二、变式教学要遵循的原则2.1针对性原则【案例3】原题如图1，在锐角三角形纸片ABC中，将纸片折叠，使点A落在对边BC上的点D处，折痕交AB于点E，交AC于点F，折痕EF//BC，连接AD、DE、DF.（1）求证：线段EF是△ABC的中位线.（2）线段AD、BC有何关系？并证明你的结论.（3）若AB=AC，试判断四边形AEDF的形状，并加以证明.CFEDBA二、变式教学要遵循的原则变式1试一试，你能用一张锐角三角形纸片折出他的四条重要线段：角平分线、中线、高、中垂线吗？能利用折纸确定三角形的“四心”吗？变式2如图2，在钝角三角形纸片ABC中，将纸片折叠，使点A落在边BC的延长线上的D处，折痕交AB于点E,交AC于点F,折痕EF//BC,连接CE、DE、DF,且BC=2CD.(1)图中有几个等腰三角形？试写出.（不能添加字母和辅助线，不要求证明）(2)若AC=BC，试判断四边形EFDC的形状，并证明你的结论.FEDCBA2.1针对性原则二、变式教学要遵循的原则ABDMNC变式3如图3，将边长为a的等边三角形折叠，使点A落在边BC的点D上，且BD:DC=m:n.设折痕为MN,求AM:AN的值.2.1针对性原则二、变式教学要遵循的原则2.2可行性原则【案例4】原题有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上。问加工成的正方形零件的边长为多少mm？NEBCQMDPA二、变式教学要遵循的原则APDMQCBEN变式1将原题中“正方形PQMN”改为“矩形PQMN”．问矩形的长和宽分别为多少时，所截得的矩形面积最大？最大面积是多少？余料的利用率是多少？2.2可行性原则二、变式教学要遵循的原则变式2一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1）所示，乙设计方案如图（2）所示。你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由．（加工损耗忽略不计，计算结果可保留分数）ADFCBE2.2可行性原则DPEFHGBCA图（1）图（2）二、变式教学要遵循的原则2.2可行性原则变式3已知△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝80，BC＝60，如图所示，把边长分别为x1,x2,x3,…xn的n个正方形依次放入△ABC中，则第1个正方形的边长x1=；第n个正方形的边长xn=(用含n的式子表示，n≥1)．ABCx3x2x1二、变式教学要遵循的原则2.2可行性原则变式4在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3.（1）如图（1），四边形DEFG为Rt△ABC的内接正方形，求正方形的边长．（2）如图（2），三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于Rt△ABC，求正方形的边长．（3）如图（3），三角形内有并排的n个相等的正方形，它们组成的矩形内接于Rt△ABC，求正方形的边长．GFEDBCAKHGFEDACBACB图（1）图（2）图（3）二、变式教学要遵循的原则2.3参与性原则图①变式5在已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．（1）如图①，若半径为r1的⊙O1是Rt△ABC的内切圆，求r1．二、变式教学要遵循的原则2.3参与性原则图②（2）如图②，若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2.（3）如图③，当n大于2的正整数时，若半径rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1与AC、BC相切，⊙On与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、⊙O3、…、⊙On－1均与AB边相切，求rn.图③二、变式教学要遵循的原则2.3参与性原则变式6有一块直角三角形的白铁皮，其一条直角边和斜边长分别为60cm和100cm.若从这块白铁皮上剪出一块尽可能大的圆铁皮，这块圆铁皮的面积有多大？从余下的白铁皮中再剪出一块尽可能大的圆铁皮，这块圆铁皮的半径是多少？O2O1BCA二、变式教学要遵循的原则2.3参与性原则O3ACBO1O2变式7在变式3的基础上再剪出一块圆铁皮⊙O3，⊙O3与⊙O2外切，与∠BAC的两边相切，求⊙O3的半径；若照此要求作下去，求⊙On的半径rn的大小.三、变式教学中七种变式举例3.1概念变式【案例5】“平方根”概念的教学【案例6】“矩形”的概念教学三、变式教学中七种变式举例3.1概念变式【案例5】“平方根”概念的教学正方形面积416494/250.81边长x2416494/250.81x三、变式教学中七种变式举例3.1概念变式【案例6】“矩形”的概念教学BCDABCDADCBA三、变式教学中七种变式举例3.2过程变式【案例7】“等腰三角形的判定”的教学（1）模式化的定理教学•复习性质定理、给出判定命题•师生进行思路分析•通过论证得出定理•应用定理做练习等腰三角形的两个底角相等有两个角相等的三角形是等腰三角形写成已知求证的形式：已知：在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=ACACB（2）用情境问题引发兴趣•如何复原一个被墨迹浸渍的等腰三角形？•学生的三种“补出”方法：只剩一个底角和一条底边①量出∠C度数，画出∠B＝∠C，∠B与∠C的边相交得到顶点A②作BC边上的中垂线，与∠C的一边相交得到顶点A③“对折”（3）多种证法激活创造力•三种常规的办法：•两种创造性的证法：①作∠A的平分线，利用“角角边”②过A作BC边的垂线，利用“角角边”③作BC边上的中线，“边边角”不能证明④假定ABAC,由“大边对大角”得出矛盾⑤△ABC≌△ACB，应用“角边角”ACB（4）用变式练习分步解决问题•不断变换题目的条件：△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BO平分∠B，CO平分∠C。能得出什么结论？过O作直线EF∥BC。①图中有几个等腰三角形？为什么？②线段EF与线段BE、FC之间有何关系？(学生编题)若∠B与∠C不相等。①图中有没有等腰三角形？为什么？②线段EF与线段BE、FC之间还有没有关系？(学生讨论)三、变式教学中七种变式举例3.3图形变式【案例8】三角形高的概念图形与非概念图形等【案例9】二次函数图像的变化规律认识【案例10】从勾股定理到图形面积关系的拓展三、变式教学中七种变式举例3.3图形变式【案例8】三角形高的概念图形与非概念图形等三、变式教学中七种变式举例3.3图形变式【案例9】二次函数图像的变化规律认识163)1(33222xxyxyxy三、变式教学中七种变式举例3.3图形变式【案例10】从勾股定理到图形面积关系的拓展勾股定理也可以表述为：如果以直角三角形的三条边a,b,c为边，向形外分别作正方形，那么以两直角边a,b为边长的两个正方形的面积之和，等于以斜边c为边长的正方形的面积．即S1+S2=S3探索1：如果以直角三角形的三条边a,b,c为边，向形外分别作正三角形，那么是否存在S1+S2=S3呢？探索2：如果以直角三角形的三条边a,b,c为直径，向形外分别作三个半圆，那么是否存在S1+S2=S3呢？《几何原本》中的结论：在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直角上所画的与其相似的图形的面积之和．三、变式教学中七种变式举例3.3图形变式【案例10】从勾股定理到图形面积关系的拓展中考举例例1（2009宜宾）已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为．例2（2009湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AB=4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于．ABCEFH第12题图CABS1S2三、变式教学中七种变式举例3.4结构变式【案例11】圆中的有关结论【案例12】二次三项式x2+(a+b)x+ab的因式分解三、变式教学中七种变式举例3.4结构变式【案例12】圆中的有关结论三、变式教学中七种变式举例3.4结构变式【案例12】二次三项式x2+(a+b)x+ab的因式分解原题：x2+4x+中添上什么数就可以使这个式子用公式法分解．变式1：如果添上的数不是4而是3，即x2+4x+3，还能不能分解？变式2：把x2+4x+3改为x2-5x-6，又如何分解呢？变式3：分解因式：x2+(a+b)x+ab．三、变式教学中七种变式举例3.5题目变式题目变式包括条件的探究（增加、减少或变更条件）、结论的探究（结论是否唯一）、数与形的探究、引申探究（命题是否可以推广）等．一般地说，几何问题的演变策略通常有以下六种：条件的弱化或强化；结论的延伸与拓展；图形的变式与延伸；条件与结论的互换；基本图形的构造应用；多种演变方法的综合．三、变式教学中七种变式举例3.5题目变式怎么样来应用习题演变策略图1【案例13】已知：如图1，在Rt△CAB和Rt△ECD中，AC=CE,点D在边BC的延长线上，且∠ACE=∠B=∠D=900.求证：△CAB≌△ECD.链接中考1.如图，四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，边长分别是a、b、c．A、B、N、E、F五点在同一条直线上，则c=.(用含有a、b的代数式表示)aDCBAMcNEFbGH2．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2,l2，l3之间的距离为3,则AC的长是()A．B．C．D．71725224l1l2l3ACB怎么样来应用习题演变策略（一）条件的弱化或强化当一个命题成立的条件较为丰富时，可考虑减少其中一两个条件，或将其中的一两个条件“一般化”，并确定相应的命题结论，从而加工概括成新命题以求拓展应用．1.条件的弱化1.1弱化条件“AC=CE（线段相等）”，则结论由三角形全等弱化为三角形相似变式1如图2，在Rt△CAB和Rt△ECD中，点D在边BC的延长线上，且∠ACE=∠B=∠D=900.求证：△CAB～△ECD.图2试题1如图3，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B，C重合的任意一点，连接AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q，设BP的长为xcm,CQ的长为ycm．（1）求点P在BC上运动的过程中y的最大值；（2）当y=1/4cm时，求x的值．图3链接中考试题2如图4,边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点,点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动（不与点B，C重合），连接OD，过点D作DE⊥OD,交边AB于点E，连接OE.记CD的长为t..图