理论力学9—质点动力学基本方程

动力学引言动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。动力学中所研究的力学模型是质点和质点系(包括刚体)。质点:具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。刚体：质点系的一种特殊情形，其中任意两个质点间的距离保持不变，也称不变的质点系。舰载飞机在发动机和弹射器推力作用下从甲板上起飞工程实际中的动力学问题工程实际中的动力学问题若已知初速度、一定的时间间隔后飞离甲板时的速度，则需要弹射器施加多大推力，或者确定需要多长的跑道。若已知推力和跑道可能长度，则需要多大的初速度和一定的时间隔后才能达到飞离甲板时的速度。工程实际中的动力学问题棒球在被球棒击打后，其速度的大小和方向发生了变化。如果已知这种变化即可确定球与棒的相互作用力。Fv1v2工程实际中的动力学问题载人飞船的交会与对接Av1Bv2工程实际中的动力学问题航空航天器的姿态控制工程实际中的动力学问题高速列车的振动问题动力学基本定律质点运动微分方程质点动力学的两类基本问题9质点动力学基本方程牛顿及其在力学发展中的贡献牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家中。在他出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改嫁了，他不得不靠他的外祖母养大。1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年获文学学士学位。在大学期间他全面掌握了当时的数学和光学。1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病，学校暂时停办，他回到老家。这段时间中他发现了二项式定律，开始了光学中的颜色实验，即白光由7种色光构成的实验。而且由于一次躺在树下看到苹果落地开始思索地心引力问题。在30岁时，牛顿被选为皇家学会的会员，这是当时英国最高科学荣誉。★牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。★牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地发明了微积分，给出了二项式定理。★牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学之数学原理》。这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总结的经典力学系统称为牛顿力学。9.1动力学的基本定律第一定律(惯性定律)不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。9.1动力学的基本定律第二定律(力与加速度关系定律)maF在经典力学中质点的质量是守恒的质点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性越大。因此，质量是质点惯性的度量。上式是推导其它动力学方程的出发点，称为动力学基本方程。质点的质量与加速度的乘积，等于作用质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。d()dmtvF9.1动力学的基本定律mPgmPg国际计量标准g＝9.80665m/s2，一般取g＝9.8m/s2在国际单位制(SI)中，长度、时间、质量为基本量，它们的单位以米(m)、秒(s)和千克(kg)为基本单位。其它量均为导出量，它们的单位则是导出单位。在地球表面，任何物体都受到重力P的作用。在重力作用下得到的加速度称为重力加速度，用g表示。由第二定律有或229.78049(10.0052884sin0.0000059sin2g为纬度9.1动力学的基本定律必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。第三定律（作用与反作用定律）两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分别作用在这两个物体上。以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为古典力学。9.2质点的运动微分方程221ddniimmtraF2.质点运动微分方程在直角坐标轴上投影222222111ddd,dddnnnxiyiziiiixyzmFmFmFttt3.质点运动微分方程在自然轴上投影2tnb111d,,0dnnniiiiiivvmFmFFt1.矢量形式的质点运动微分方程9.3质点动力学的两类基本问题第一类基本问题：已知质点的运动，求作用在质点上的力。这类问题其实质可归结为数学上的求导问题。第二类基本问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动。这类问题其实质可归结为数学上的解微分方程或求积分问题。9.3质点动力学的两类基本问题1.力是常数或是时间的简单函数00d()dvtvmvFtt00ddddd()dddddvxvxvvxvvmvvFxxtxtx3.力是速度的简单函数，分离变量积分00dd()vtvmvtFv2.力是位置的简单函数,利用循环求导变换例9.1例1如图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方程为x＝acoswt，y＝asinwt，求作用在质点上的力F。ijvrF解：以质点M为研究对象。分析运动：由运动方程消去时间t，得12222byax质点作椭圆运动。将运动方程对时间求两阶导数得：22cos,sinxatybt代入质点运动微分方程，即可求得主动力的投影为：22cos,sinxyFmxmatFmymbt22222cossin(cossin)()XYmatmbtmatbtmxymFijijijijr力F与矢径r共线反向，其大小正比于矢径r的模，方向恒指向椭圆中心。这种力称为有心力。yxxbaOM例9.2例2质量为1Kg的小球M，用两绳系住，两绳的另一端分别连接在固定点A、B，如图。已知小球以速度v＝2.5m/s在水平面内作匀速圆周运动，圆的半径r＝0.5m,求两绳的拉力。解：以小球为研究对象，任一瞬时小球受力如图。220,12.5nvaamsr方向指向O点。MOrBA45º60º小球在水平面内作匀速圆周运动。B60ºArOMmgFBFAvan建立自然坐标系得：2sin45sin60(1)0cos45cos60(2)ABABvmFFrmgFF解得：8.65N,7.38NABFF分析:由(1)、(2)式可得:2222(9.832),(29.8)3131ABFvFv04.932.91msAFv04.92.21msBFv因此，只有当时，两绳才同时受力。否则将只有其中一绳受力。2.21m/s2.91m/svB60ºArOMmgFBFAvanbn例9.3例3从某处抛射一物体，已知初速度为v0，抛射角为a，如不计空气阻力，求物体在重力单独作用下的运动规律。0vvmg解：研究抛射体,列直角坐标形式的质点运动微分方程2222dd0,ddxymmmgtt积分后得xyM213241,2xCtCygtCtC初始条件为0000000:0,cos,sinxytxyvvvvaatcosvxa0=2021gttvy-sin=a轨迹方程为：aa2202cos2vgxxtgy由此可见，物体的轨迹是一抛物线。于是物体的运动方程为：确定出积分常数为：102034cos,sin,0CvCvCCaa例9.4oRHMFx例4垂直于地面向上发射一物体，求该物体在地球引力作用下的运动速度，并求第二宇宙速度。不计空气阻力及地球自转的影响。20xmMGF由于20RmMGmg所以MgRG20由直角坐标形式的质点运动微分方程得：2222ddxmgRmFtx由于，将上式改写为22ddddddddddxxxxxvvxvvttxtx解：以物体为研究对象，将其视为质点，建立如图坐标。质点在任一位置受地球引力的大小为：22ddxxvmgRmvxx分离变量得：22ddxxxmvvmgRx设物体在地面发射的初速度为v0，在空中任一位置x处的速度为v，对上式积分022ddvxxxvRxmvvmgRx得)11(21212202RxmgRmvmv所以物体在任意位置的速度为：xgRgRvv2202)2(可见物体的速度将随x的增加而减小。xgRgRvv2202)2(若v0²2gR，则物体在某一位置x＝R+H时速度将为零，此后物体将回落，H为以初速v0向上发射物体所能达到的最大高度。将x＝R+H及v＝0代入上式可得20202vgRRvH若v0²2gR，则不论x为多大，甚至为无限大时，速度v均不会减小为零，因此欲使物体向上发射一去不复返时必须具有的最小速度为gRv20若取g＝9.8m/s²，R＝6370km，代入上式可得skmv2.110这就是物体脱离地球引力范围所需的最小初速度，称为第二宇宙速度。例9.6例5如图所示，一细常杆杆端有一小球M，其质量为m，另一端用光滑铰固定。杆长为l，质量不计，杆在铅垂面内运动，开始时小球位于铅垂位置，突然给小球一水平初速度v0，求杆处于任一位置q时对球的约束力。解：以小球为研究对象，将其视为质点。建立图示的自然坐标。由运动学知：qlsddsvltqtddvaltq22nvallqqOlO1Sv0M(+)ndsindvmmgtq2cosTvmFmglqsin(1)mlmgqq（1）式是一常系数二阶非线性微分方程，其解为椭圆积分，较为复杂。将其积分一次求出，代入（2）式即可求出FT。q因为ddddddddttqqqqqqqq所以dsindglqqqq002d()sind2glqqqqqqqqOlO1Sv0mgFTM(+)n在任一位置质点受力如图。由自然坐标形式的质点运动微分方程得2cos(2)TmlFmgqq即得：)cos(cos2121002qqqqlg由初始条件：t＝0时，q0＝0，代入上式得lv00q22022(cos1)(3)vgllqq将其代入（2）式，得22020cos2(cos1)cos(3cos2)(4)TFmlmgmvglmglmvmglqqqqq下面将计算结果作进一步的讨论：由(3)得)1(cos2202qglvv此式表示杆在任意位置时球的速度。由此式可知:当时小球才能作圆周运动，否则球作摆动。glv40(4)式给出约束力FT随q角的变化规律。当q＝0时，20maxTmvFmgl当q＝p时，20min5TmvFmgl若令T=0，可由(4)式给出约束力为零时，杆的位置(设此时杆的位置用qA表示)所满足的条件0)2cos3(20lmvmgAq因此，要使T0，必须满足。glv50即glvA332cos20q若glvgl450则0cos1Aq因此，在区间范围内，总存在确定的qA值，使小球在这一点不受杆的作用。),2(pp当qqA时，FT＞0，即小球受拉；当qqA时，FT＜0，即小球受压。例9.7umgqs例6：质量为m长为l的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的速度为u,q=0。求绳作用在小球上的力F(q),并分析小球的运动。解：1、取研究对象画受力图2、确定坐标系3、建立微分方程4、求解5、分析小球运动FngFamm::qqqqcossin2mgFmlmgml运动微分方程积分上式可得：lummgF2)2cos3(q分析小球微幅摆动的运动规律0sinqqglqqsin02qwq)sin(wqtA0,wluA运动特点：等时性（周期与初始条件无关）lg2w初始条件：lu00,0qq0qqlg微分方程的通解确定积分常数