非线性电阻电路分析

“十一五”规划教材—电路基础第四章非线性电阻电路4.1非线性电阻元件的特性4.2非线性电阻电路的方程4.3图解分析法4.4小信号分析法4.5分段线性分析法4.6数值分析法4.7应用实例：温度测量与控制电路“十一五”规划教材—电路基础4.1非线性电阻元件的特性本章介绍非线性电阻电路方程的建立方法，分析非线性电阻电路的一些常用方法，如图解分析法、小信号分析法、分段线性化方法、数值分析法等。一、非线性电阻元件定义：在ui平面或iu平面上的伏安特性曲线不是通过原点的直线。非线性电阻的电路符号+-ui非线性电阻不满足欧姆定律u=f(i)或i=g(u)1.伏安关系“十一五”规划教材—电路基础3.既非压控又非流控电阻可看出方程既无法把u表达成i的单值函数，也无法把i表达成u的单值函数。注意：与线性电阻不同，非线性电阻一般不是双向电阻。例如PN结二极管，就必须明确地用标记将其两个端钮区别开来，在使用时必须按标记正确接到电路中。其电压电流关系不能表达为一个变量的单值函数00(,)00iufuiui对所有对所有如：理想二极管iuOui“十一五”规划教材—电路基础4.2非线性电阻电路的方程从列写电路方程的两个基本依据来看：2.不同的是元件本身的特性。由于非线性电阻元件的电压电流关系不是线性的，所以得到的方程将是非线性的。1.基尔霍夫电流定律（KCL）、基尔霍夫电压定律（KVL）只与电路的结构有关，而与元件的性质无关。因此就列写KCL和KVL本身方程，非线性电阻电路与线性电阻电路无区别。“十一五”规划教材—电路基础153350ui例4.2.1图示为一非线性电阻电路，其中R1、R2为线性电阻，R3为非线性电阻，其电压电流关系为试列出其电路方程求出相应的变量1212321233()SRRiRiuRiRiu解：方法1：网孔法153350ui消去i1、u3，可得11253311250SuRRiiRRR①2R1RSu3R3u3i1i3i1i“十一五”规划教材—电路基础153350ui例4.2.1图示为一非线性电阻电路，其中R1、R2为线性电阻，R3为非线性电阻，其电压电流关系为试列出其电路方程求出相应的变量解：方法2：节点电压法3312111()SuuiRRR533550ui5321235121250SuRRRuuRRRR消去i3，可得①2R1RSu3R3u3i1i3i1i“十一五”规划教材—电路基础由上面的分析可知，建立非线性电阻电路方程时，非线性电阻的处理与受控电源的处理类似，只是非线性电阻的控制量是电阻本身所在支路上的变量（电压或电流）而已。2.对电压控制型非线性电阻，采用节点法或割集法进行分析比较简单，因为用电压变量（节点电压或割集电压）容易表示电压控制型非线性电阻上的电流。1.对电流控制型非线性电阻，采用网孔法或回路法进行分析比较简单，因为用电流变量（网孔电流或回路电流）容易表示电流控制型非线性电阻上的电压。“十一五”规划教材—电路基础4.3图解分析法图解分析法的原理一、图解法的基本原理：将非线性电路拆分为两个一端口电路N1和N2，如图所示。拆分的方式可以是任意的，为了列写电路方程的方便，一般拆分成线性电路部分和非线性电路部分，也可以拆分成两个非线性电路部分。设N1和N2的电压电流关系为：图解分析方法的思路：因为每个方程代表一条特性曲线，图解分析方法就是用作图的方法找到这些曲线的交点，即静态工作点(quiescentoperatingpoint)。2u2i1N1u2N1i“十一五”规划教材—电路基础图解分析法的原理111222(,)0(,)0fuifui1212uuii根据KVL和KCL，有2u2i1N1u2N1i“十一五”规划教材—电路基础或111211(,)0(,)0fuifui122222(,)0(,)0fuifui由上两式，可得(4.3.3a)(4.3.3b)用图解法在同一坐标系中画出式(4.3.3a)或式(4.3.3b)中两个方程的特性曲线，其交点为电路方程的解。“十一五”规划教材—电路基础例4.3.1如图4.3.2(a)所示，设非线性电阻R的电压电流关系为，其中u为非线性电阻两端的电压(单位为V)。试求非线性电阻R的静态工作点。64010(1)Auie(a)解：将非线性电阻R左边的线性电路部分用戴维南电路等效，如图(b)所示，其中0.521V0.50.5OCu00.50.50.7510.50.5Ri0.750.50.52VRu(b)uuii0ROCu“十一五”规划教材—电路基础则线性电路部分的电压电流关系为：1iu非线性电路部分的电压电流关系为64010(1)Auie在同一坐标系中作出两部分电路的伏安特性曲线，如图(c)所示，其交点为Q，即为非线性电阻R的静态工作点，对应的坐标为0.34V0.66Aui，QO1iu0.2ui0.40.80.464010(1)uie(C)“十一五”规划教材—电路基础4.4小信号分析法上节图解法是在直流激励下，确定静态工作点，如果在此基础上再加入幅度很小的随时间变化的信号（小信号），如何处理呢？小信号分析法的基本思路：是在静态工作点确定的基础上，将非线性电阻电路的方程线性化，得到相应的小信号等效电路或增量等效电路（线性电阻电路）。利用分析线性电路的方法进行分析计算。“十一五”规划教材—电路基础4.4小信号分析法0Riu()ifu0U()SutR任意时刻t都有)(0tuUs图示电路中，直流电压源为U0，电阻R0为线性电阻，非线性电阻R是电压控制型的，其伏安特性i=f(u)，其伏安特性曲线如图4.4.1(b)所示图4.4.1（a)Oui()ifu图4.4.1（b)小信号时变电压为uS(t)1.首先按照KVL列出电路方程分析方法：0()SSUutRiu(4.4.1)“十一五”规划教材—电路基础QO0UuiA()ifuBQUQI00UR2.当uS(t)0时0SQQURIU()QQIfUQ(UQ，IQ)，即静态工作点3.当uS(t)加入时u1、i1是由于小信号uS(t)的作用而引起的偏差在(4.4.2)(4.4.3)11QQuUuiIi(4.4.4)“十一五”规划教材—电路基础在任何时刻t，u1、i1相对(UQ，IQ)都是很小的量。)(0tuUs的条件下，由if(u)可得：11[]QQIifUu(4.4.5）11()QQQUdfIifUudu又由于u1很小，可以将上式右边在UQ点附近用泰勒级数展开，取级数前面两项而略去一次项以上的高次项，上式可写为(4.4.6)11QUdfiudu由式(4.4.3)，可得(4.4.7)“十一五”规划教材—电路基础111QdUdidfGuduR因此有(4.4.8)Gd为非线性电阻在工作点(UQ，IQ)处的动态电导(dynamicconductance)，Rd为相应的动态电阻(dynamicresistance)。由于Gd1/Rd在工作点(UQ，IQ)处是一个常量，所以从上式可以看出，小信号电压uS(t)产生的电压u1和电流i1之间的关系是线性的。011()[]SSQQUutRIiUu(4.4.10)所以011()SdutRiRi(4.4.11)“十一五”规划教材—电路基础由此可以作出给定非线性电阻在工作点(UQ，IQ)处的小信号等效电路，如图4.4.2所示。()Sut0R1()it1()utdR图4.4.2小信号模型011()SdutRiRi由小信号电路可得1010()()SddSdutiRRRutuRR(4.4.12)“十一五”规划教材—电路基础例4.4.1在如图4.4.3(a)所示非线性电阻电路中，非线性电阻的伏安特性为，现已知当uS(t)0时，回路中的电流i为1A。如果uS(t)costV时，试用小信号分析法求回路中的电流i。32uii2iuSu5V解由题意可知，此电路中的静态工作点在I0=1A处，工作点处的动态电阻为021235diiIduRidi作出小信号等效电路21i1uSudR“十一五”规划教材—电路基础11cosA257Suit1(1cos)A7it故总电流为可得：21i1uSudR“十一五”规划教材—电路基础4.5分段线性分析法分段线性分析法(piecewiselinearizationanalysis)是一种实用的近似方法，即用一条折线来分段逼近特性曲线，所以有时也称之为折线法(polygonmethod)。思路：就是用若干段斜率不同的折线近似代替非线性电阻的实际特性曲线，从而将非线性电阻电路转化为几个线性电路求解，每个线性电路对应一个相应的区间。“十一五”规划教材—电路基础4.5分段线性分析法O2UuiB3U132AC3I2I图4.5.1所示为流控型非线性电阻的特性曲线，可以将非线性电阻的特性分作三段，分别用OA、AB、和BC三段直线来逼近它。直线方程如果用电流为自变量，其一般表达式为kdkuURi图4.5.1分段线性逼近“十一五”规划教材—电路基础其中Uk是第k段直线与u轴交点的坐标。显然，图4.5.1中的U1=0，U20，U30。Rdk为动态电阻，等于第k段直线的斜率，即dkkduRdikdkuURiO2UuiB3U132AC3I2I图中三条线段上，有三个动态电阻OA段是通过原点的直线Rd1=RD10AB段是下降的直线段Rd20RD20Rd2RD2BC段是上升的直线段Rd30RD30Rd3RD3“十一五”规划教材—电路基础由上式可知，第k段非线性电阻Rk的特性可以用电压源串联线性电阻来等效，如图(b)所示，称为分段戴维南电路。或电流源并联电导来等效如图(c)所示，称为分段诺顿电路。kdkuURikdkiIGu或kIdkGdkRkUiudkRiuiu图4.5.2非线性电阻及其线性化等效电路(a)(b)(c)“十一五”规划教材—电路基础例4.5.1试用分段线性分析法求解图4.5.3(a)所示电路，其中非线性电阻的伏安特性曲线如图(b)所示。i512VuO3(A)iQB12A(V)u41256789108V1V0.8A0.2A(a)(b)图4.5.301.5Vu1.5Vu解现在按电压分为两段，分别用OA（）、AB（）两条直线分段逼近。取u为自变量，直线方程是kdkiIGu“十一五”规划教材—电路基础O3(A)iQB12A(V)u41256789108V1V0.8A0.2A对OA段，可测得Ik=0A，Gdk=0.8S，对AB段，可测得Ik=1.0A，Gdk=0.025S显然，这是一个虚假解，应该舍弃。2.42.402.4V1.5V0.20.20.8kdkIuG2.42.416.22V0.20.20.025kdkIuG“十一五”规划教材—电路基础O3(A)iQB12A(V)u41256789108V1V0.8A0.2A此时正好在AB段的范围内，代入直线方程得到10.0256.221.16AkdkiIGu注意：对每个线性电路计算后，要根据电压和电流的等效范围进行校验，仅当工作点在其有关段的等效范围时，其解才是正确的。否则便是虚假工作点，应予以舍弃。“十一五”规划教材—电路基础4.6数值分析法数值分析法(numericalanalysis)一般采用逼近的方法，使用迭代的点序列逐步逼近非线性方程的解。逼近的方法有牛顿法、共轭梯度法等。本节主要介绍牛顿法。含有一个非线性电阻电路的方程，最终可归结为一个一元非线性方程，假设电路方程的形式为()0fx(4.6.1)式中x为待求的电路变量，一般为电压或电流。“十一五”规划教材—电路基础牛顿法：是基于围绕某一近似解对函数进行泰勒展开给出的，即()kx()fx()()2()()()2