离散型随机变量的均值

离散型随机变量的均值按3：2：1的比例混合18kg元混合糖果中每一粒糖果的质量都相等24kg元36kg元定价为混合糖果的平均价格才合理按3：2：1混合24kg元36kg元18kg元教学过程m千克混合糖果的总价格为18×+24×+36×36m26m16m平均价格为321182436666321182436666mmmm　　元＝２3kg182436PX612636=18×P（=18）+24×P（=24）+36×P（=36）XEXXXX……P……一般地,若离散型随机变量X的概率分布为ip2x2pnpix1x1pnx则称为随机变量X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望（Mathematicalexpectation）.1122()iinnEXxpxpxpxp它反映了离散型随机变量取值的平均水平.随机变量的均值与样本均值的区别与联系？随机变量的均值与样本的平均值有何区别和联系•随机变量的均值是常数，而样本的平均值随着样本的不同而变化，因而样本的平均值是随机变量；•对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近总体的平均值，因此，我们常用样本的平均值来估计总体的平均值。随机变量X的均值与X可能取值的算术平均数相同吗X的分布列321()18243623666EX182436263可能取值的算术平均数为XX182436P612636随机变量x的均值与x可能取值的算术平均数何时相等举例随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数X的均值。x123456P616161616161126762...1117()12...66662EX　X可能取值的算术平均数为甲、乙两名射手射击的环数为两个相互独立的随机变量X与Y,且X，Y的分布列为甲、乙两名射手谁的射击水平高?X123P0.30.10.6Y123P0.30.40.3()10.320.130.62.3EX()10.320.430.32.0EY所以，甲射手比乙射手的射击水平高。解：巩固新知10.320.130.62.3EX在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分。如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？x=1或x=0P(x=1)=0.7例题1X10P0.70.3()10.700.30.7EX一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=？()10(1)EXppp若X服从两点分布，则E(X)=p设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．（1）Y的分布列是什么？（2）E(Y)=？探究：P1xix2x······1p2pip······nxnpX1122()iinnEXxpxpxpxpP1xix2x······1p2pip······nxnpXP1xix2x······1p2pip······nxnpXYbax1baxibax2······baxn1122()()()()nnEYaxbpaxbpaxbp)()(212211nnnpppbpxpxpxa()aEXb练习一1、随机变量ξ的分布列是ξ135P0.50.30.2(1)则E（ξ）=.2、随机变量ξ的分布列是2.4(2)若η=2ξ+1，则E(η)=.5.8ξ47910P0.3ab0.2E(ξ)=7.5,则a=b=.0.40.1练习二1.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取2个，则其中含红球个数的数学期望是.1.22.（1）若E(ξ)=4.5,则E(－ξ)=.（2）E(ξ－Eξ)=.-4.50例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；（1）求他得到的分数X的分布列；（2）求X的期望。X0123P33.0解：(1)X～B（3，0.7）2133.07.0C3.07.0223C37.0(2)31222333()00.310.70.320.70.330.7EXCC1.27.03求证：若X~B(n，p)，则E(X)=np∴E(X)=0×Cn0p0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2p2qn-2+…+k×Cnkpkqn-k+…+n×Cnnpnq0∵P(X=k)=Cnkpkqn-k证明：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…+Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0)X01…k…nPCn0p0qnCn1p1qn-1…Cnkpkqn-k…Cnnpnq0(∵kCnk=nCn-1k-1)=np(p+q)n-1=np离散型随机变量均值的性质()()EaXbaEXb(1)线性性质若X~B(n，p)，则E(X)=np(2)两点分布的均值(3)二项分布的均值若X~B(1，p)，则E(X)=p巩固公式：一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是.3不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分例3.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选或选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是和η,则ξ～B(20,0.9),η～B(20,0.25)，所以Eξ＝20×0.9＝18，Eη＝20×0.25＝5．由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5ξ和5η.这样，他们在测验中的成绩的期望分别是E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的均值为90分的含义是什么?12人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需缴纳保险费a元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡，则赔付1万元，经统计，此年龄段一年内意外死亡的概率是p,非意外死亡的概率为p,则a满足什么条件，保险公司才能盈利？练习：1122()iinnEXxpxpxpxp小结1.离散型随机变量均值的性质()()EaXbaEXb若X~B(n，p)，则E(X)=np若X~B(1，p)，则E(X)=p2.求离散型随机变量均值的步骤①确定所有可能取值；②写出分布列；③求出均值