中职数学10.1计数原理

概率统计统计概率10.1计数原理乙地甲地甲地乙地a1a2a3b1b2看图1和图2，数一数从甲地到乙地有多少种不同的走法？图1图2问题1从甲地去乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天中，火车有2班，汽车有4班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的选择？解2＋4＝6(种)1.要完成什么事？2.完成这件事有几类不同的办法？3.每类办法中又有几种方法？4.完成这件事共有多少种不同的方法？乙地汽车火车甲地火车汽车问题2.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？AB引入路径类1-1问题2.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？AB引入路径类1-2问题2.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？AB引入路径类1-3问题2.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？AB引入路径类2-1问题2.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？AB引入（一）分类计数原理有n类办法N＝m1＋m2＋…＋mn第1类办法中有m1种不同的方法第2类办法中有m2种不同的方法第n类办法中有mn种不同的方法……共有多少种不同的方法完成一件事分类计数原理分类计数原理又称“加法原理”完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋……＋mn种不同的方法例1书架上层有不同的数学书15本，中层有不同的语文书18本，下层有不同的物理书7本.现从中任取一本书，问有多少种不同的取法？有三类取法N＝15＋18＋7＝40(种)第1类，从上层15本数学书任取一本，有15种取法第2类，从中层18本语文书任取一本，有18种取法第3类，从下层7本物理书任取一本，有7种取法共有多少种不同的取法任取一本书例2某班同学分成甲、乙、丙、丁四个小组，甲组9人，乙组11人，丙组10人，丁组9人．现要求该班选派一人去参加某项活动，问有多少种不同的选法？解根据分类计数原理，不同的选法一共有：N＝9＋11＋10＋9＝39(种)．问题(1)：本题中要完成一件什么事？问题(2)：由A地去C地有个步骤，第一步：由A地到B地，有种不同的走法；第二步：由B地到C地，有种不同的走法．问题(3)：完成这件事有多少种不同的方法？223问题2由A地去C地，中间必须经过B地，且已知由A地到B地有3条路可走，再由B地到C地有2条路可走，那么由A地经B到C地有多少种不同的走法？CBAa1a2a3b1b2解3×2＝6(种)．a1a2a3b1b2（二）分步计数原理完成一件事第1步有m1种不同的方法第2步有m2种不同的方法第n步有mn种不同的方法N=m1×m2×…×mn有n个步骤共有多少种不同的方法…→→→→→分步计数原理完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第ｎ步有种不同的方法．那么完成这件事共有N＝种不同的方法．1m2mnmnmmm...21分步计数原理又叫作“乘法原理”例3书架上层有不同的数学书15本，中层有不同的语文书18本，下层有不同的物理书7本.现从中取出数学、语文、物理书各一本，问有多少种不同的取法？有三个步骤N＝15×18×7＝1890第1步，从上层15本数学书任取一本,有15种取法；第2步，从中层18本语文书任取一本,有18种取法；第3步，从下层7本物理书任取一本,有7种取法.各取一本书共有多少种不同的取法第3步，例4某农场要在4种不同类型的土地上，试验种植A，B，C，D这4种不同品种的小麦，要求每种土地上试种一种小麦，问有多少种不同的试验方案？依据分步计数原理，可知有4×3×2×1＝24种不同的试验方案.第3步，考虑C种小麦，可在剩下的2种不同类型的土地中任选1种，有2种选法；第2步，考虑B种小麦，可在剩下的3种不同类型的土地中任选1种，有3种选法；第4步，最后考虑D种小麦，只剩下1种类型的土地，因此只有1种选法.第1步，先考虑A种小麦，可在4种不同类型的土地中任选1种，有4种选法；例5由数字1，2，3，4，5可以组成多少个3位数(各位上的数字可以重复)？解根据分步计数原理，组成不同的3位数的个数共有5×5×5＝125(个).百位十位个位第一步第二步第三步5×5×5例6一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共10个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码?本题的特点是数字可以重复使用，例如0000，1111，1212等等，与分步计数原理比较，这里完成每一步的方法数m=10，有n=4个步骤,结果是总个数N=10×10×10×10=104解：由于号码锁的每个拨号盘有0到9这10个数字，每个拨号盘的数字有10种取法。根据分步计数原理，4个拨号盘上各取1数字组成的个数是答：可以组成10000个四位数字号码。N=104。典例分析例7要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上白班和晚班，有多少种不同的选法？解：从3名工人中选出2名分别上白班和晚班，可以看成是经过先选1名上白班，再选1名上晚班这两个步骤完成。先选1名上白班，共有3种选法；上白班的工人选定后再选1名上晚班，上晚班的工人有2种选法，根据分步计数原理,所求的不同的选法数是.623N答：有6种不同的选法。典例分析白班晚班甲乙丙丙乙甲乙甲丙相应的排法不同排法如下图所示甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙白班晚班例8书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书。（1）从书架上任取一本书，有多少种取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同的取法?注意区别“分类”与“分步”典例分析解:(1)从第1层任取一本,有4种取法,从第2层任取一本,有3种取法,从第3层任取一本,有2种取法,共有4+3+2=9种取法。答：从书架上任意取一本书，有9种不同的取法。(2)从书架的1、2、3层各取一本书,需要分三步完成,第1步,从第1层取1本书,有4种取法,第2步,从第2层取1本书,有3种取法,第3步,从第3层取1本书,有2种取法.由分步计数原理知,共有4×3×2=24种取法。答：从书架上的第1、2、3层各取一本书，有24种不同的取法。分类时要做到不重不漏分步时做到不缺步2.四名重本生各从A、B、C三位教师中选一位作自己的导师，共有______种选法；三名教师各从四名重本生中选一位作自己的学生，共有_____种选法。431.教学楼共有3处楼梯口,问从1楼到5楼共有多少种不同的走法?答：3×3×3×3=34=81（种）34变式训练2.四名重本生各从A、B、C三位教师中选一位作自己的导师，共有______种选法；三名教师各从四名重本生中选一位作自己的学生，共有_____种选法。431.诸城一中勤学楼楼共有3处楼梯口,问从1楼到5楼共有多少种不同的走法?答：3×3×3×3=34=81（种）34变式训练1．一件工作可以用两种方法完成。有5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成。选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？2．乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+ｃ5)展开后共有项？4+5=9３×４×５＝６０3、把四封不同的信任意投入三个信箱中,不同投法种数是()A.12B.64C.81D.74、火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有（）种A.510B.105C.50D.以上都不对CA练习巩固例6甲班有三好学生8人，乙班有三好学生6人，丙班有三好学生9人：（1）由这三个班中任选1名三好学生，出席三好学生表彰会，有多少种不同的选法？（2）由这三个班中各选1名三好学生，出席三好学生表彰会，有多少种不同的选法？解(1)依分类计数原理，不同的选法种数是N＝8＋6＋9＝23；(2)依分步计数原理，不同的选法种数是N＝8×6×9＝432．两个原理的共同点与不同点.(1)共同点：(2)不同点：都是研究“完成一件事，共有多少种不同的方法”；分类计数原理中的n类办法相互独立，且每类办法里的每种方法都可独立完成这件事；分步计数原理中的每个步骤互相依存，每一步都不能独立完成这件事，只有每个步骤都完成了，这件事才算完成.分类计数原理分步计数原理两个原理的区别与联系教材P128习题1，2，3，4，5