《小波分析及应用》PPT课件

内容简介1.小波分析的数学基础2.小波分析的发展历程3.小波变换4.小波分析应用5.主要参考文献1.小波分析的数学基础集合论上定义的三大空间：距离空间、赋范线性空间、Hilbert空间。相关概念及理论：空间可看成是实际物理空间或欧几里德三维空间的推广和抽象化。空间由有确定元素的集合构成，并在这些元素间引入某种关系。距离空间：定义元素之间距离的集合叫距离空间或度量空间；定义元素之间代数运算（向量加法及数与向量乘法）的集合称为线性空间；赋范线性空间：定义了元素范数（向量长度的推广）的线性空间称为赋范线性空间；定义了元素与元素内积（积分运算）的线性空间称为内积空间；如果再引入极限概念，研究其收敛性，这些空间就是完备的；Hilbert空间：完备的内积空间就是Hilbert空间。1.1距离空间的定义设R表示一个非空集合，若任意两元素,都按一定的规则与一个实数相对应，且满足以下三公理：（1），当且仅当：时等号成立；（非负性）（2）；（对称性）（3）对R中任意三元素，有：（三角不等式）则称为和的距离，称R为距离空间。yx,),(yx),(yx0),(yx),(),(xyyxzyx,,),(),(),(zyyxzx),(yxxyyx1.2赋范线性空间定义设为实数（或复数）线性空间，若任意的，都有一个非负的实数与之对应，且满足：（1）；（2）(齐性);（3）（三角不等式）。则称为的范数，称为线性赋范线性空间。EExx00xxxxKyxyxEyx,xxE1.3Hilbert空间定义内积空间定义：设是数域（实或复），是上的线性空间。若对任意的，都有唯一的数与之对应，且满足：（1）（2）（3）（4）且则称为的内积，称为内积空间。其中（1），（2）是对第一变元线性性；（3）为共扼对称性；（4）为正定性。Hibert空间定义：若内积空间按范数完备，则称为Hibert空间。KKUUUUyx,Kyx),(),(),(yxyxK),(),(),(yzyxyzxUz),(),(xyyx0),(xx00),(xxxU),(yxyx,),(xxx1.4小波分析的数学基础首先，小波变换以空间理论为基础的；小波分析是以研究正交、紧支集小波开始的，小波构造及运算规则都与Hilbert空间理论密不可分；小波分析的数学基础课程如下：泛函分析、矩阵分析、数值分析、数理统计。2.小波分析的发展历程Fourier变换：1807年由Fourier提出，时域到频域的域变换；1909年A.Haar提出Haar函数系，正交、对称、紧支撑，但不光滑；1936年Littlewood-Paley提出对频率按进行划分；1946年，Gaber提出窗口Fourier变换；1948年Shannon建立信息论，后来发现可用小波基不失真传输编码的存在；1974年，GuidoWeiss和R.Coifman研究函数空间原子分解及重构；1981年Morlet首先提出小波分析的概念；1984年J.Morlet和物理学家A.Grossman第一次提出“Wavelet”一词；1985年Meyer证明了一维小波基的存在，1986年国际上掀起小波研究的热潮；1987年Meyer和Mallat合作提出多分辨分析的框架；1988年Debauchies构造出紧支集有限光滑小波函数（Ｄb），发表著名长文；1990年崔锦泰和王建忠构造了单正交样条小波基；1992年经典小波的基本理论已成熟，国内1991年发表第一篇小波论文。j22.1Heisenberg不确定原理Heisenberg不确定原理限制了时频能量的同时集中！2LftHeisenberg不确定理：如果，时间的根方差为，频率的根方差为4122t则：21t即:时—频局域化只能在均方意义下获得：dtt21dttut2222\22t这种局域化可表示为HeisenbergBox:2.2傅立叶分析Fourier变换把信号从时间域变到频率域，在时间域内难以观察的现象和规律，在频率域内往往能十分清楚地显示出来。连续Fourier变换定义如下：FT时—频相平面图timeAmplitudeFourier变换的缺陷：在时域表示中不能直接利用信号的频域信息；在频域表示中，也不能直接利用信号的时域信息,傅立叶分析没有时—频局域化能力。def21tftfdtetffFtiti2.3窗口傅立叶分析窗口Fourier变换在τ点附近局部地测量了频率为ω的正弦分量，使Foureier在时域与频域内均有局域化功能。tiedttgtfdtetgtf,Gf,i连续窗口Fourier变换如下：ti,etgg积分核：窗口Fourier变换的缺陷：一旦选定特定大小的时间窗口，它对整个信号的所有频率是固定不变的，这就不适于处理频率成分随时间变化的瞬变信号。2.4小波分析的时频特性在空间中小波函数是一经伸缩和平移得到的一族双窗口函数：RL2ata21,a0a,R,a满足下述条件：1N,...0k,0dtttk（1）具有k阶消失矩：（2）容许条件：dC*R2（3）稳定性条件：BaAj20在信号频率降低时，尺度参数a增大，小波的时窗变宽，同时频窗变窄；在信号频率增高时，尺度参数a减小，小波的时窗变窄，同时频窗变宽。Fourier变换的重要性质之一是其伸缩性。afaatfftf1,则：若：对于小波有：iaaeaaatat21,21,taaatataat,,,,1频窗宽时窗宽在某一尺度a下小波的双窗口宽度如下：小波基函数的窗口面积不随参数而变，改变对和的伸展或收缩作用刚好相反，因此小波分析的时—频窗口大小可以自适应变化！,aat2.5小波时—频窗的自适应变化2.6小波分析的优越性Fourier变换：时间到频率的域变换，没有时频局化功能，可离散正交化，有快速算法FFT。窗口Fourier变换：时窗固定的Fourier变换，有时频局域化功能，但性能不好；不能离散正交化。小波变换：时窗-频窗可自适应变化的双窗口变换，时频局域化能力强；有离散正交化（或双正交）有快速算法FWT。变窗口、平移和正交性是分析信号的重要条件！2.7三种分析方法的一个比喻我们可以把要分析的全体信号看成为一个信息大厦，而把三种分析方法所用核函数看作为建造这些大厦的用砖，则有如下的一个比喻：傅立叶分析：核函数是正弦波，这是一块很长很长的预制块（理论上无限长），品种、规格均单一，只能用来建造类似长城这样的简单建筑，即不具备局域化能力，只能分析平稳信号。窗口傅立叶分析：核函数是高斯窗包络下缩短了的正弦波，它把傅立叶变换中的长大形预制块截短成长方形的砖头，品种仍然单一，规格增加了，但在使用时只能用一个规格，可以建造不同大小的方形大厦。即初步具备局域化能力，可以分析变化不太剧烈的非平稳随机信号。小波分析：核函数是小波基，它能灵活伸缩变化，这是形状各一、大小不同，可按需求定制的形形色色的砖头，可谓种类、规格繁多，能建筑各种风格的大厦。即具有极其灵活的局域化能力，可以分析各种平稳信号及非平稳随机信号。3.小波变换3.1几点解释t（2）支撑区：支撑区是函数或信号自变量的定义域，它是一个闭集，在这个集上信号或过程是非零的，在支撑区之外信号或过程迅速下降为零。（1）小波的涵义：从物理意义上，小波函数是指一类迅速衰减、均值为零的波；从数学意义上又称为子波，因为小波族是一个称为母小波函数经过伸缩和平移而产生的，它们具有自相似的特征。（3）几个约定：小波分析所涉及的函数空间是；RL2t小波函数在时域记为：，在频域记为：；尺度函数在时域记为：，在频域记为：。t3.2连续小波变换对于任意函数或信号，其小波变换为：RLxf2其逆变换为：RRa,fdtatψtfa1dttψtfa,W22,,1RbafadadtaWCtf3.3二进小波t如果小波函数满足稳定性条件：tBaAj20则对于任意j，称为二进小波：jttj2221,2A/B愈接近于1，稳定性越强，当A=B时最稳定。与连续小波比不会损失基本信息，由于其正交性消除空间冗余信息，变换结果更能反映信号本身的性质。3.4二进小波变换（DyadicWaveletTransform）为了简化数值计算，尺度沿着二进序列被采样，这样就有了下面的二进小波变换。Zjj2对于任意的函数，其二进小波变换为：RLtf2jjfdtttfWfRjj22221其逆变换为：kRdtWftfjj~,22tAtjj,2,2~1当A=B时：当AB时：tBAtjj,2,2~23.5多分辨分析（MultiresolutionAnalysis）上的一列闭线性子空间和函数共同称为多分辨分析，如果它们满足如下要求：RL2ZkVk;t（1）单调性：1kkVV（4）伸缩性：12kkVxfVxf（5）构造性：Zk;ktRLVZkk2（3）稠密性：（2）唯一性：ZkkV生成的标准正交基。其中函数称为尺度函数(ScaleFunction)。t0V3.6小波的Mallat统一构造方法3.6.1尺度方程：如果和函数是一个多分辨分析，那么，必然存在一列系数，使得:ZkVk;tZlZkhk2;kt2h2tZkk上式称之为尺度方程。系数列叫低通滤波系数。ZlZkhk2;3.6.2小波构造：（Y.MeyerandS.Mallat,1988）Zkkkt2g2t则有:2jkZjkt,;,ZjtSpanWjkk;,kk1kWVV令（为高通滤波器系数），则可构造小波函数如下：Zkhgkkk,11kg3.7尺度函数的低通滤波器特点Battle—Lemarie三次样条尺度函数及傅立叶变换尺度函数可看作为低通滤波器，其傅立叶变换的能量主要集中在上。,3.8小波函数的带通滤波器特点Battle—Lemarie三次样条小波及其傅立叶变换的模小波函数可看作为带通滤波器，其傅立叶变换的能量主要集中在上。22,,3.9正交小波的快速算法—Mallat算法小波分解：phanapnhpanjjj2*21pganapngpdjjnj2*21ajh2aj+1h2aj+2g2dj+1g2dj+2pgdphandnpgnanphpajjjnjnj**221111小波重构：aj+2h2aj+1g2dj+1dj+2h2ajg2二进正交小波可以看成尺度函数和小波函数基组成双通道正交滤波器组！3.10小波分析应用的特性要求在各种不同的实际应用时，人们通常希望小波具有以下三条性质：(1)对称性:对称性即线性相位，对称性保证小波的滤波特性有线性相移，不会造成信号的失真。从视觉的角度而言，人们对不对称的误差