随机变量的分布函数

———|——xXx一、定义：设X是一个r.v，称)()(xXPxF)(x为X的分布函数.记作X～F(x)或FX(x).如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间的概率.],(x3.2随机变量的分布函数问：在上式中，X,x皆为变量.二者有什么区别？x起什么作用？F(x)是不是概率？X是随机变量,x是参变量.F(x)是r.vX取值不大于x的概率.xxXPxF),()(由定义，对任意实数x1x2，随机点落在区间（x1,x2]的概率为：P{x1Xx2}=P{Xx2}-P{Xx1}=F(x2)-F(x1)因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述.xxXPxF),()(分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数学分析的工具来研究随机变量.xxXPxF),()(二、离散型r.v的分布函数设离散型r.vX的概率分布列是P{X=xk}=pk,k=1,2,3,…xxkkp则F(x)=P(Xx)=由于F(x)是X取的诸值xk的概率之和，故又称F(x)为累积概率函数.x当x0时，{Xx}=，故F(x)=0例1.，求F(x).当0x1时，F(x)=P(Xx)=P(X=0)=31F(x)=P(Xx)解:X012P216131当1x2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)=+=316121当x2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1例1.，求F(x).F(x)=P(Xx)解:X012P216131故注意右连续下面我们从图形上来看一下.2,121,2110,310,0)(xxxxxF212121103100xxxxxF,,/,/,)(概率函数图31120x)(xXP612113121120x)(xXP612161OOO1)(xF分布函数图画分布函数图X012P216131不难看出，F(x)的图形是阶梯状的图形，在x=0，1，2处有跳跃，其跃度分别等于P(X=0),P(X=1),P(X=2).3121120x612161OOO1)(xF三、分布函数的性质(3)F(x)非降，即若x1x2，则F(x1)F(x2);(2)F()=F(x)=0xlim(4)F(x)右连续，即)()(lim00xFxFxx如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.vX的分布函数.也就是说，性质(1)--(4)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.F()=F(x)=1xlim(1)0≤F(x)≤1,－∞x+∞;试说明F(x)能否是某个r.v的分布函数.例2.设有函数F(x)其它00sin)(xxxF注意到函数F(x)在上下降，不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.],2[不满足性质(2)，可见F(x)也不能是r.v的分布函数.或者0)(lim)(xFFx解：•P66定理3.2.1•例3.3.2一个班有100名学生其中20岁的有30人，21岁的有40人，22岁的有30人。现从班上任意挑选一名学生，§是学生的的年龄，求§的分布函数•例3.2.3在△ABC中任取一点，设§为该点到底边AB的距离。又已知AB上的高位h，求§的分布函数F(x)及F(x)的导数，并画出F(x)的图像。•例3.2.4设§是某台仪器从时刻零开始持续工作的时间。假设在时刻t以前没有损坏，而在时间间隔（t，t+△t）中损坏的条件概率为求§的分布函数为。有关的正值函数，是与t)(),()(tttt3.4连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.一.连续型随机变量、概率密度定义设F（x）是随机变量X的分布函数，若存在一个非负的函数f(x),对任何实数x，有，则称X为连续型随机变量，同时称f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度。dttfxFx)()(f(x)xoy由定义知：1.连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数.2.对f(x)的连续点，有)()('xfxF由此F(x)与f(x)可以互推。概率密度函数的性质1.0)(xf2.1)(dxxf这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某r.vX的概率密度函数的充要条件.of(x)xy3．dxxfxFxFxXxPxx211221)()()()(f(x)xoyx1x2故X的密度f(x)在x这一点的值，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.x],(xxx若x是f(x)的连续点，则：xxxXxPx)(lim0x)(lim0xxxxdttf=f(x)4.对f(x)的进一步理解:P79中要注意的是，密度函数f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.f(x)xo若不计高阶无穷小，有：xxfxxXxP)(}{它表示随机变量X取值于的概率近似等于.],(xxxxxf)(xxf)(在连续型r.v理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型r.v理论中所起的作用相类似.连续型r.v取任一指定值的概率为0.即：,0)(aXPa为任一指定值这是因为需要指出的是:.0),()()()(0xxaFaFaXxaPaXP由于连续型随机变量的分布函数是连续函数，00))()((limxaFaFx从而P(X=a)=0.P(X=a)=0的充分必要条件是F(x)是连续函数。任意a∈R。由此得，)()(bXaPbXaP)(bXaP1)对连续型r.vX,有)(bXaP2)由P(X=a)=0可推知1)()()(aXPdxxfaRXP而{X=a}并非不可能事件并非必然事件}}{{aRX称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.可见，由P(A)=0,不能推出A由P(B)=1,不能推出B=S下面给出几个r.v的例子.由于连续型r.v唯一被它的密度函数所确定.所以，若已知密度函数，该连续型r.v的概率规律就得到了全面描述.f(x)xo解：例1.设r.vX的密度函数为f(x)其它0,1112xxAxf,)(求(1)A,(2)F(x),(3))(2121XP（1）由性质2，1222222112222222112AttAdttAtdtAdxxAdxxftx)sin(coscos)(sinA=2.对x-1，F(x)=0xdttdtxF121120)(21arcsin112xxx,11x对对x1，F(x)=1求F(x).其它,011,12)(2xxxf解：F(x)=P(Xx)=xdttf)((2)1,111,21arcsin111,0)(2xxxxxxxF即.)()()sin()(233121212211221216621212FFttdxxXP(3).xdttfxF)()(大家一起来作下面的练习.求F(x).其它,021,210,)(~xxxxxfX例2设由于f(x)是分段表达的，求F(x)时注意分段求.xdttfxF)()(=01xtdt0xdtttdt110)2(0x10x21x2xF(x)其它,021,210,)(~xxxxxfX对连续型r.v，若已知F(x)，我们通过求导也可求出f(x)，请看下例.2,121,21210,20,0)(22xxxxxxxxF即1110002xxxxxF,,,)(例3设r.vX的分布函数为(1)求X取值在区间(0.3,0.7)的概率；(2)求X的概率密度.解:(1)P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4dxxdF)((2)f(x)=注意到F(x)在1处导数不存在，根据改变被积函数在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在没意义的点处，任意规定的值.)(xF)(xF其它,010,2xx几种重要的连续型随机变量均匀分布（1）若r.vX的概率密度为：则称X服从区间[a,b]上的均匀分布，记作：X～U(a,b))(xfab)(,,)(babxaabxf其它01它的实际背景是：r.vX取值在区间[a,b]上，并且取值在[a,b]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比.则X具有[a,b]上的均匀分布.分布函数为:.,1,,,,0)(bxbxaabaxaxxFf(x)≥0,11badxabdxxf)(满足概率密度性质。若X~U[a,b],(x1,x2)为[a,b]的任意子区间，则)()(12211121xxabdxabxXxPxx公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五入，小数点后某一位小数引入的误差；例4.某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30,7:45等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.解：依题意，X～U(0,30)以7:00为起点0，以分为单位其它,0300,301)(xxf为使候车时间X少于5分钟，乘客必须在7:10到7:15之间，或在7:25到7:30之间到达车站.所求概率为：从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，}3025{}1510{XPXP其它,0300,301)(xxf3130130130251510dxdx即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.例5.设K在[0，5]上服从均匀分布，求方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率。解：K~U[0，5]，其他。,,,)(05051kkf有实根等价于Δ≥0，即16K2－16（K+2）≥0，K≤－1，orK≥2故方程有实根的概率为：P(K≤－1)+P(K≥2)=605152.dx区间(0,1)上的均匀分布U(0,1)在计算机模拟中起着重要的作用.实用中，用计算机程序可以在短时间内产生大量服从(0,1)上均匀分布的随机数.它是由一种迭代过程产生的.严格地说，计算机中产生的U(0,1)随机数并非完全随机，但很接近随机，故常称为伪随机数.如取n足够大，独立产生n个U(0,1)随机数，则从用这n个数字画出的频率直方图就可看出，它很接近于(0,1)上的均匀分布U(0,1).则称X服从参数为的指数分布.（2）若r.vX具有概率密度000)(xxexfx0常简记为X~E().指数分布分布函数为：.0,0,0,1)(xxexFx指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命..1][)(00xxedxedxxff(x)≥0,满足概率密度性质。