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小故事一位教师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，一位小男孩即刻把写着答案的小石板交了上去。1+2+3+4+......+98+99+100=?老师起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于那个男孩时，才大吃一惊。而更使人吃惊的是男孩的算法......小故事老师发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，……共有50对这样的数，用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使老师——彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教这位男孩的了。卡尔·弗里德里希·高斯此男孩叫高斯，是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。一、等差数列的基本知识（1）1、2、3、4、5、6……（2）2、4、6、8、10、12……（3）5、10、15、20、25、30像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为数列数列中的每一个数称为一项；第1项称为首项；最后1项称为末项；在第几个位置上的数就叫第几项；有多少项称为项数；（一）数列的基本知识（二）等差数列的基本知识（1）1、2、3、4、5、6……（2）2、4、6、8、10、12……（3）5、10、15、20、25、30（公差=1）（公差=2）（公差=5）通过观察，我们可以发现上面的每一个数列中，从第一项开始，后项与前项的差都相等的，具有这样特征的数列称为等差数列，这个差称为这个数列的公差。例2已知数列2、5、8、11、14、17，这个数列有多少项。分析：第2项比首项多1个公差，第3项比首项多2个公差，第4项比首项多3个公差……，那第n项比首项多（n-1)个公差。规律：末项比首项多的公差的个数，再加上1，就得到这个数列的项数。等差数列的项数=公差个数+1=（末项-首项）÷公差+1这个数列的项数=（17-2）÷3+1=6练习1、一串数：1、3、5、7、9、……49。这串数共有多少个？2、一串数：2、4、6、8、……2008。这串数共有多少个？3、一串数：101、102、103、104、……199。这串数共有多少个？二、等差数列的和例：6+10+14+18+22+26+30+34+38分析：这是一个等差数列；首项=6，末项=38，公差=4原数列的和：6+10+14+18+22+26+30+34+38倒过来的和：38+34+30+26+22+18+14+10+6444444444444444444两数列之和=（6+38）×9解：原数列之和=（6+38）×9÷2=44×9÷2=198等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2例：计算1+6+11+16+21+26+......+276分析：这是一个等差数列；首项=1，末项=276，公差=5等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2？等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1解：等差数列的项数：（276-1）÷5+1=56（项）原数列之和=（1+276）×56÷2=277×28=7756练习1、计算（1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37（2）7+11+15+19+......+403（3）9+19+29+39+......+99（4）1+3+5+7+......+99练习答案：解：（1）这是一个等差数列；首项=7，末项=37，公差=3,项数=（37-7）÷3+1=11和=（7+37）×11÷2=242（2）这是一个等差数列；首项=7，末项=403，公差=4，项数=（403-7）÷4+1=100和=（7+403）×100÷2=20500（3）这是一个等差数列；首项=9，末项=99，公差=10，项数=（99-9）÷10+1=10和=（9+99）×10÷2=540（4）这是一个等差数列；首项=1，末项=99，公差=2，项数=（99-1）÷2+1=50和=（1+99）×50÷2=2500二、等差数列的应用1.有10把钥匙是互相配对的，但小组把锁和钥匙弄乱了，问最多需要实验多少次，就可以把锁和钥匙配起来？2.30名同学，每人都握一次手，问共握多少次手？3.杨诚为了买课外书自己存钱，2003年元月存一元钱，以后每月都比前一个月多存1元钱，那么2003年这一年里一共可以存多少钱？（1）10支球队进行循环比赛，每两支球队之间都要进行一场比赛，一共要进行多场比赛？(2)8个小朋友,要使每个小朋友都能拿到苹果,而且每个人拿到苹果都不同的话,这堆苹果至少应该有多少个?3.小红读一本书,第一天读30页,从第二天起,每天读的页数都必须比前一天多4页,最后一天读了70页刚好读完,这本书共有几页?