高中数学--必修四-课件：1-1-1任意角

第一章三角函数系列丛书进入导航第一章三角函数RJA版·数学·必修4第一章三角函数系列丛书进入导航1.1任意角和弧度制第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修41．1.1任意角提高篇课时作业预习篇课堂篇巩固篇第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修41.理解任意角的概念，能区分各类角的概念.2.掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角.3.理解终边相同的角的含义及其表示，并能解决有关问题.学习目标第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4点：能够写出终边相同的角的集合；难点：会判断象限角.重点难点第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4预习篇01新知导学第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修41．任意角的概念角可以看成平面内绕着从一个位置到另一个位置所成的图形．角的概念的推广和分类一条射线端点旋转第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修42．正角、负角和零角我们规定，按旋转形成的角叫做正角，按旋转形成的角叫做负角．如果一条射线，我们称它形成了一个零角．这样，零角的始边与终边.如果α是零角，那么α＝0°.逆时针方向顺时针方向没有作任何旋转重合第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修41．角的概念中主要包含哪些要素？答：角的概念包含的三要素为：顶点、始边、终边．2．根据角的新的定义，角的范围有什么变化？答：角的范围不再是以前学的锐角、直角以及钝角，而是任意的角．第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4为了讨论问题的方便，我们在直角坐标系内使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边在，我们就说这个角是第几象限角．如果角的终边在，就认为这个角不属于任何一个象限，称它为轴线角(或称为象限界角)．象限角第几象限坐标轴上第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修43．把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？答：坐标轴上或四个象限内．第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修44．“锐角”、“第一象限角”、“小于90°的角”三者有何不同？答：锐角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以大于360°，还可能是负角，小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角．第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与的和．终边相同的角整数个周角第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修45．终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？答：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角，终边相同．第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修41．解读任意角的概念(1)用运动的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．(2)对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字．①要明确旋转的方向；②要明确旋转的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修42．终边相同的角的关注点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．相等的角终边一定相同．第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4课堂篇02合作探究第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【例1】将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α360°)的形式，并指出是第几象限角．(1)420°；(2)－510°；(3)1020°.终边相同的角及象限角第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【解】(1)420°＝360°＋60°，而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角．(2)－510°＝－2×360°＋210°，而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角．(3)用1020°除以360°的商为2，余数为300°，即1020°＝2×360°＋300°，而300°是第四象限角，故1020°是第四象限角．第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4通法提炼首先把β写成k·360°＋αk∈Z，0°≤α360°的形式，然后只需判断β所在的象限即可.第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4(1)在四个角20°，－30°，100°，220°中，第二象限角的个数为()A．0B．1C．2D．3第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4(2)与－460°角终边相同的角可以表示成()A．460°＋k·360°，k∈ZB．100°＋k·360°，k∈ZC．260°＋k·360°，k∈ZD．－260°＋k·360°，k∈Z第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4解析：(2)因为－460°＝260°＋(－2)·360°，故－460°可以表示成260°＋k·360°，k∈Z，故选C.答案：(1)B(2)C第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【例2】已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围．区域角的表示第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【分析】结合图形，在0°～360°范围内，写出终边在阴影部分内的角的范围，再加上360°的整数倍后进行集合的运算．第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【解】终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|α＝30°＋k·180°≤α105°＋k·180°，k∈Z}．第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4通法提炼表示区间角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|αxβ}；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4写出顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合，如图所示．第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4解：如题图(1)所示，以OB为终边的角有330°角，可看成是－30°，∴以OA，OB为终边的角的集合分别是：S1＝{x|x＝75°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{x|x＝－30°＋k·360°，k∈Z}．∴终边落在阴影部分的角的集合为{θ|k·360°－30°≤θ≤k·360°＋75°，k∈Z}．第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4如图(2)所示，以OB为终边的角有225°角，可看成是－135°，∴终边落在阴影部分的角的集合为{θ|－135°＋k·360°≤θ≤135°＋k·360°，k∈Z}．第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【例3】已知α为第二象限角，则2α，α2分别是第几象限角？【分析】(1)α的范围如何表示？(k·360°＋90°αk·360°＋180°，k∈Z)(2)由α的范围写出2α，α2的范围后，怎样判断角所在象限？(由k的取值判断角所在象限)判断角αn所在的象限第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【解】∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°α180°＋k·360°.∴180°＋2k·360°2α360°＋2k·360°，k∈Z∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角．同理45°＋k2·360°α290°＋k2·360°.第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4当k为偶数时，不妨令k＝2n，n∈Z，则45°＋n·360°α290°＋n·360°，此时，α2为第一象限角；当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，则225°＋n·360°α2270°＋n·360°，第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4通法提炼确定αn所在象限的一般步骤(1)求出αn的范围．(2)对n的取值分情况讨论．(3)下结论．第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4若α是第三象限角，判断2α，α3和180°－α是第几象限角．第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4解：∵α是第三象限角，∴180°＋k·360°α270°＋k·360°(k∈Z)，(1)360°＋2k·360°2α540°＋2k·360°(k∈Z)，即(2k＋1)·360°2α180°＋(2k＋1)·360°(k∈Z)，则2α是第一、二象限角，或终边在y轴的非负半轴上的角．(2)60°＋k·120°α390°＋k·120°(k∈Z)，第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4当k＝3m(m∈Z)时，α3为第一象限角；当k＝3m＋1(m∈Z)时，α3为第三象限角；当k＝3m＋2(m∈Z)时，α3为第四象限角．所以α3为第一或第三或第四象限角．第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4(3)－270°＋k·360°－α－180°＋k·360°(k∈Z)，则－90°＋k·360°180°－αk·360°(k∈Z)．所以180°－α是第四象限角．第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4提高篇03自我超越第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4——多维探究系列——分角所在象限及范围的确定1.αn所在象限的确定第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4一般地，要确定αn(n∈N*)所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4，则α的终边在第几象限，αn的终边就落在标号为几的区域．如此，αn所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修42.αn取值范围的确定在确定αn(n∈N*)的取值范围之前，我们要先明确下面两类终边相同的角的集合表示方法：(1)终边落在射线上的角的集合表示方法：{β|β＝α＋k·360°，α∈[0°，360°)}；(2)终边落在直线上的角的集合表示方法：{β|β＝α＋k·180°，α∈[0°，180°)}．第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4注意：终边在射线上对应的是360°的整数倍；终边在直线上对应的是180°的整数倍．第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【例】若α为第二象限角，(1)试用几何作图法确定α2所在的象限；(2)试确定α2的取值范围．第一章·1.1·1.1.1系列丛书进入