1.2.1-绝对值不等式-教学课件(北师大版选修4-5)

课前探究学习课堂讲练互动2.1绝对值不等式§2含有绝对值的不等式1．理解绝对值的几何意义，理解绝对值不等式定理及其几何意义．2．会用绝对值不等式定理解决比较简单的问题．学习目标课前探究学习课堂讲练互动a，b∈R，|a＋b|__|a|＋|b|，当且仅当ab__0时，等号成立.|a－b|表示点a－b与_____间的距离，也表示_____之间的距离．a，b，c∈R，|a－c|__|a－b|＋|b－c|，当且仅当_______________，即b落在a，c之间时等号成立．预习自测1．2．3．≤≥原点a与b≤c)≥0(a－b)(b－课前探究学习课堂讲练互动提示|a＋b|≤|a|＋|b|⇔|a＋b|2≤(|a|＋|b|)2⇔(a＋b)2≤|a|2＋2|a||b|＋|b|2⇔a2＋2ab＋b2≤a2＋2|a||b|＋b2⇔ab≤|ab|.∴|ab|≥ab显然成立，∴原不等式成立．自主探究1．你能证明：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|吗？课前探究学习课堂讲练互动提示因为|a|＝|(a＋b)－b|≤|a＋b|＋|－b|＝|a＋b|＋|b|.所以|a|－|b|≤|a＋b|，同理可证|b|－|a|≤|a＋b|.所以||a|－|b||≤|a＋b|.2．你能证明：||a|－|b||≤|a＋b|吗？课前探究学习课堂讲练互动分析本题可考虑两边平方去掉绝对值转化为普通不等式(1－x2)(1－y2)≤(1－xy)2.【例1】典例剖析知识点1利用绝对值不等式证明变量不等式已知|x|1，|y|1，求证：（1－x2）（1－y2）|1－xy|≤1.课前探究学习课堂讲练互动证明|x|1⇔x21⇔1－x20，|y|1⇔1－y20，x2＋y2≥2xy⇔－x2－y2≤－2xy⇔1－x2－y2＋x2y2≤1－2xy＋x2y2⇔(1－x2)(1－y2)≤(1－xy)2⇔（1－x2）（1－y2）≤|1－xy|所以（1－x2）（1－y2）|1－xy|≤1.由于|x|1，|y|1，则|xy|1，即1－xy≠0.【反思感悟】通过添一项、减一项的恒等变形，然后再进行组合，构造成能利用绝对值不等式的形式是证明的关键．课前探究学习课堂讲练互动证明∵|x－a|＋|x－b|＝|x－a|＋|b－x|≥|x－a＋b－x|＝|b－a|＝|a－b|.∴|x－a|＋|x－b|≥|a－b|.1．证明：|x－a|＋|x－b|≥|a－b|.课前探究学习课堂讲练互动【例2】知识点2利用绝对值不等式证明函数不等式函数f(x)的定义域为[0，1]，f(0)＝f(1)，且对任意不同的x1，x2∈[0，1]都有|f(x2)－f(x1)||x2－x1|，求证：|f(x2)－f(x1)|12.证明设0≤x1x2≤1，①若x2－x1≤12，则|f(x2)－f(x1)||x2－x1|≤12.即|f(x2)－f(x1)|12.课前探究学习课堂讲练互动【反思感悟】对于绝对值符号内的式子，采用加减某个式子后，重新组合，运用绝对值不等式的性质变形，是证明绝对值不等式的典型方法．②若12x2－x1≤1，则|f(x2)－f(x1)|＝|f(x2)＋f(0)－f(1)－f(x1)|＝|f(x2)－f(1)＋f(0)－f(x1)|≤|f(x2)－f(1)|＋|f(0)－f(x1)||x2－1|＋|x1－0|.而|x2－1|＋|x1|＝1－x2＋x1＝1－(x2－x1)1－12＝12.综上所述，对任意不同的x1，x2∈[0，1]都有|f(x2)－f(x1)|12.课前探究学习课堂讲练互动设f(x)＝ax2＋bx＋c，当|x|≤1时，总有|f(x)|≤1，求证：|f(2)|≤7.证明∵|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1，|f(0)|≤1，∴|f(2)|＝|4a＋2b＋c|＝|3f(1)＋f(－1)－3f(0)|≤3|f(1)|＋|f(－1)|＋3|f(0)|≤7.2．课前探究学习课堂讲练互动若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|a的解集为∅，求实数a的取值范围．解法一∵|x＋2|＋|x－1|≥|(x＋2)－(x－1)|＝3，∴当a≤3时，原不等式解集为∅.法二式子|x＋2|＋|x－1|可看作数轴上一点到－2、1对应的两点间距离之和，而数轴上任一点与这两点距离之和不小于3，故使原不等式解集为∅的a的范围是a≤3.【例3】知识点3绝对值不等式的应用课前探究学习课堂讲练互动已知函数f(x)、g(x)，设不等式|f(x)|＋|g(x)|a(a0)的解集为M，不等式|f(x)＋g(x)|a(a0)的解集是N，则集合M与N的关系是()．A．NMB．M＝NC．M⊆ND．MN解析∵|f(x)＋g(x)|≤|f(x)|＋|g(x)|，若x0∈M，则|f(x0)|＋|g(x0)|a，故|f(x0)＋g(x0)|a，所以x0∈N.答案C3．课前探究学习课堂讲练互动证明含有绝对值的不等式，要运用实数的性质，不等式的性质，以及不等式证明的有关方法，另外主要运用绝对值不等式即|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|；|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3|；|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.课堂小结课前探究学习课堂讲练互动若a，b都是非零实数，则下列不等式不恒成立的是()．A．|a＋b|≥a－bB．a2＋b2|≥2|a·b|随堂演练1．C．|a＋b|≤|a|＋|b|D.ab＋ba≥2解析当a0，b0时，|a＋b|a－b.故A不恒成立．答案A课前探究学习课堂讲练互动2．已知|x1－a|ε，|x2－a|ε，求证：12（x1＋x2）－aε.证明12（x1＋x2）－a＝12|x1＋x2－2a|＝12|(x1－a)＋(x2－a)|≤12(|x1－a|＋|x2－a|)12(ε＋ε)＝ε.3．设|x－a|ε2，|y－b|ε2，求证：|(x＋y)－(a＋b)|ε.证明|(x＋y)－(a＋b)|＝|(x－a)＋(y－b)|≤|x－a|＋|y－b|ε2＋ε2＝ε.