选修4-5第一讲-绝对值不等式及解法

高三数学选修4-5第一章不等式2020/4/81pzyandong复习回顾：我们知道,一个实数a的绝对值的意义:⑴)0()0(0)0(||aaaaaa（定义）⑵|a|的几何意义:OA||axa0关于绝对值还有什么性质呢?表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离.①2aa②abab,aabb,……2020/4/82pzyandong注：绝对值的几何意义:⑴|a|表示数轴上的数a对应的点A与原点O的距离|OA|;⑵|a－b|表示数轴上的数a对应的点A与数b对应的点B的距离.如图:即|a|=|OA|，|a－b|=|AB|OAB0xab思考:用恰当的方法在数轴上把|a|,|b|,|a+b|表示出来，你能发现它们之间的什么关系?猜想：|a+b|≤|a|+|b|（当且仅当ab≥0时，等号成立.）2020/4/83pzyandong如果把,ab换为向量,ab，根据向量加法的三角形法则,易知abab≤.(同向时取等号)定理1（绝对值三角形不等式）如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|（当且仅当ab≥0时，等号成立.）abababab推论11212nnaaaaaa≤2020/4/84pzyandong已知,ab是实数，试证明：abab≤（当且仅当0ab≥时，等号成立.）证明:10.当ab≥0时,||,||()||||||||(||||)||||22222222ababababaabbaabbabab20.当ab0时,||,||()||||||||||||||(||||)||||22222222222ababababaabbaabbaabbabab综合10,20知定理成立.2020/4/85pzyandong定理2如果a、b、c是实数,那么|a－c|≤|a－b|+|b－c|当且仅当(a－b)(b－c)≥0时,等号成立.定理3如果a、b是实数,那么||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|当且仅当ab≤0时,等号成立.当且仅当ab≥0时,等号成立.将定理中的实数a、b换成向量(或复数)仍成立2020/4/86pzyandong证明：|2x＋3y－2a－3b|=|(2x－2a)＋(3y－3b)|=|2(x－a)＋3(y－b)|≤|2(x－a)|＋|3(y－b)|=2|x－a|+3|y－b|2ε＋3ε=5ε.所以|2x＋3y－2a－3b|5ε.例1.已知ε0,|x－a|ε,|y－b|ε求证:|2x＋3y－2a－3b|5ε.2020/4/87pzyandong例2两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有S(x)=2(|x－10|+|x－20|)，要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。·10·x·202020/4/88pzyandong2020/4/89pzyandong形如|x|a和|x|a(a0)的不等式的解集:①不等式|x|a的解集为{x|－axa}②不等式|x|a的解集为{x|x－a或xa}0－aa0－aa想一想:如果a≤0,以上不等式的解集是什么？2020/4/810pzyandong解含绝对值不等式的四种常用思路。这四种思路将有助于我们有效地解决含绝对值不等式的问题。方法一：利用绝对值的几何意义观察方法二：利用绝对值的定义去掉绝对值符号，需要分类讨论方法三：两边同时平方去掉绝对值符号方法四：利用函数图象观察2020/4/811pzyandong(1)|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c0)型不等式的解法：①换元法：令t=ax+b,转化为|t|≤c和|t|≥c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。②分段讨论法：00||(0)()axbaxbaxbccaxbcaxbc或00||(0)()axbaxbaxbccaxbcaxbc或2020/4/812pzyandong|32|7.x解不等式例1.237x原不等式解:237237xx或25xx或{|25}.xxx原不等式的解集为或|32|1x变解不等式练．习式:(,0)(1,)答案:2020/4/813pzyandong2|5|6xx解不等式．例2.2656xx原不等式解:225656xxxx225602316560xxxxxxx或1236,xx或1|34|6x解不等式．变练习式:1052[,)(1,]333答案:(1,2)(3,6).原不等式的解集为2020/4/814pzyandong|ax+b|c和|ax+b|c(c0)型不等式比较：类型化去绝对值后集合上解的意义区别|ax+b|c－cax+bc{x|ax+b－c}∩{x|ax+bc},交|ax+b|cax+b－c或ax+bc{x|ax+b－c}∪{x|ax+bc},并2020/4/815pzyandong2|34|1.xxx解不等式例3.2222340340341(34)1xxxxxxxxxx原不等式或解1:41141351xxxxxx或或或1,513,xxx或，或{|1,13,5}.xxxx原不等式的解集为或或2020/4/816pzyandong2|34|1.xxx解不等式例3.2234(1)341xxxxxx原不等式或解2:22230450xxxx或13,1,5,xxx或或{|1,13,5}.xxxx原不等式的解集为或或(1)(3)0,(1)(5)0xxxx或2020/4/817pzyandong解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式(组),常见的类型有：2020/4/818pzyandongaxfaxfaaxf)()()0(|)(|)1(或axfaaaxf)()0(|)(|)2()()()()()(|)(|)3(xgxfxgxfxgxf或)()()()(|)(|)4(xgxfxgxgxf22)()(|)(||)(|)5(xgxfxgxf例4.解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5方法一:利用绝对值的几何意义．解:如图,数轴上－2,1对应的点分别为A,B，－3,2对应的点分别为A1,B1，∴原不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}.-212-3-10AA1BB1∵|A1A|+|A1B|=5,|B1A|+|B1B|=5,∴数轴上,点A1和B1之间的任何一点,到点A,B的距离之和都小于5,而A1的左边或B1的右边的任何一点,到点A,B的距离之和都大于5,这种方法体现了数形结合的思想型不等式的解法和）（cbxaxcbxax22020/4/819pzyandong方法二:利用|x－1|=0,|x＋2|=0的零点,分段讨论去绝对值例4.解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5(1)2x当时,解:2(1)(2)5xxx原不等式23.3xxx(2)21x当时,21(1)(2)5xxx原不等式21.35xx(3)1x当时,1(1)(2)5xxx原不等式122xxx这种解法体现了分类讨论的思想∴原不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}.2020/4/820pzyandong方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解．|1||2|50,xx原不等式化为解:例4.解不等式|x－1|+|x＋2|≥5|1||2|,yxx构造函数化简得(1)(2)2(1)(2)21(1)(2)1xxxyxxxxxx，，，26,2221241xxyxxx即，，2020/4/821pzyandong-312-2-2xy这种方法体现了函数与方程的思想．例4.解不等式|x－1|+|x＋2|≥5如图,作出函数的图象,26,2221241xxyxxx，，320,xxy由图象可知,当或时,函数的零点是-3,2.∴原不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}.2020/4/822pzyandong2.若不等式:|x－1|＋|x－3|＜a的解集为空集,则a的取值范围是----------3.解不等式:1|2x＋1|3.1.对任意实数x，若不等式|x＋1|－|x－2|k恒成立，则k的取值范围是（）(A)k3(B)k－3(C)k≤3(D)k≤－3B4.解不等式:|x＋3|＋|x－3|8.答案:(－2,－1)∪(0,1)答案:{x|x－4或x4}.(,2]　　　　　　5.解不等式:|x－1||x－3|.答案:{x|x2}.6.解不等式:|5x－6|6－x.答案:(0,2)课堂练习2020/4/823pzyandong课堂小结:1.解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号转化为一般不等式来处理。2.主要方法有：⑴同解变形法:运用解法公式直接转化；⑵分类讨论去绝对值符号；⑶数形结合(运用绝对值的几何意义);⑷利用函数图象来分析.2020/4/824pzyandong1．绝对值不等式2．常用结论:|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.2020/4/825pzyandong1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？提示：|a|－|b|≤|a＋b|，|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.2．三个实数的绝对值不等式|x－a|＋|x－b|≥|a－b|的几何意义是什么？提示：数轴上任意一点到两点的距离之和，不小于这两点的距离．3．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值是________.解析：y＝|x－4|＋|x－6|＝|4－x|＋|x－6|≥|4－x＋x－6|＝2.答案：22020/4/826pzyandong(1)设xy0，x，y∈R，那么正确的是()A．|x＋y||x－y|B．|x－y||x|＋|y|C．|x＋y||x－y|D．|x－y|||x|－|y||与绝对值不等式相关的判断(2)已知|a|≠|b|，m＝|a|－|b||a－b|，n＝|a|＋|b||a＋b|，则m，n之间的大小关系是________.2020/4/827pzyandong思路点拨:(1)由于xy0,x,y异号,利用|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|判定．(2)题易判定m，n与1的大小关系．解析：(1)方法一：特殊值法．取x＝1，y＝－2，则满足xy＝－20，这样有|x＋y|＝|1－2|＝1，|x－y|＝|1－(－2)|＝3，|x|＋|y|＝3，||x|－|y||＝1，∴选项C成立，A、B、D不成立．方法二：由xy0得x，y异号，易知|x＋y||x－y|，|x－y|＝|x|＋|y|，|x－y|||x|－|y||，∴选项C成立，A、B、D不成立．2020/4/828pzyandong(2)因为|a|－|b|≤|a－b|，所以|a|－|b||a－b|≤1，即m≤1.又因为|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a|＋|b||a＋b|≥1，即n≥1.所以m≤1≤