二次函数的解析式与几何变换(2014-2015)-教师版

第一阶段·二次函数解析式与几何变换·教师版Page1of17中考解决方案二次函数解析式及几何变换上课时间：学生姓名：第一阶段·二次函数解析式与几何变换·教师版Page2of17能通过分析实际问题的情境确定二次函数的解析式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．知识点一二次函数解析式的确定一、待定系数法（1）一般式：2(0)yaxbxca．如果已知二次函数的图象上的三点坐标（或称函数的三对对应值）11xy，、22xy，、33xy，，那么方程组211122222333yaxbxcyaxbxcyaxbxc就可以唯一确定a、b、c，从而求得函数解析式2yaxbxc．总结：1．任何二次函数都可以整理成一般式2(0)yaxbxca的形式；2．已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式．（2）顶点式：2()(0)yaxhka．由于222424bacbyaxbxcaxaa，所以当已知二次函数图象的顶点坐标2424bacbaa，时，就可以设二次函数形如22424bacbyaxaa，从而利用其他条件，容易求得此函数的解析式．这里直线2bxa又称为二次函数图象的对称轴．总结：1．已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式．2．已知二次函数的顶点和图象上的任意一点，都可以用顶点式来确定解析式．（3）交点式：12()()(0)yaxxxxa．我们知道，22212424bacbyaxbxcaxaxxxxaa，这里12xx，分别是方程20axbxc的两根．当已知二次函数的图象与x轴有交点（或者说方程20axbxc有实根）时，就可以令函数解析式为12yaxxxx，从而求得此函数的解析式．总结：自检自查必考点中考怎么考二次函数解析式及几何变换第一阶段·二次函数解析式与几何变换·教师版Page3of171．已知抛物线与x的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式．2．已知二次函数与x轴的交点坐标，和图象上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式．3．已知二次函数与x轴的交点坐标12,0,,0xx，可知二次函数的对称轴为122xxx．4．根据二次函数的对称性可知，对于函数图象上的两点12,,,xaxa，如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为122xxx．5．对于任意的二次函数2yaxbxc，当0x时，利用求根公式可得2142bbacxa，2242bbacxa，可知22212444||22bbacbbacbacxxaaa．（4）对称式：12()()(0)yaxxxxka．总结：当抛物线经过点1(,)xk、2(,)xk时，可以用对称式来求二次函数的解析式．注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．知识点二、二次函数的几何变换一、平移变换（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成2()yaxhk的形式，确定其顶点(,)hk，然后做出二次函数2yax的图象，将抛物线2yax平移，使其顶点平移到(,)hk．具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”．二、对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1．关于x轴对称2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；2．关于y轴对称2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；第一阶段·二次函数解析式与几何变换·教师版Page4of17根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．三、旋转变换在二次函数的旋转变换中，将抛物线绕顶点旋转90或180，之后抛物线的开口大小不变，方向改变，但是顶点坐标不改变，这也是解题的关键，具体如下：1．关于原点对称2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是2yaxhk；2．关于顶点对称2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是2yaxhk．3．关于点mn，对称2yaxhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222yaxhmnk第一阶段·二次函数解析式与几何变换·教师版Page5of17【例1】已知一个二次函数过原点、111，、19，三点，求二次函数的解析式．【答案】210yxx【解析】设二次函数的解析式为：2(0)yaxbxca，∵函数图象经过00，、111，、19，三点，∴0119cabcabc，解此方程组得：1010abc∴二次函数的解析式为210yxx．【例2】已知图象经过点(0,3)，(3,0)，(2,5)，且与x轴交于A、B两点．试确定此二次函数的解析式；【答案】解析式为223yxx．【解析】设解析式为2(0)yaxbxca，把(0,3)、(3,0)、(2,5)各点代入上式得3,093,542.cabcabc，解得1,2,3abc∴解析式为223yxx．【例3】已知一个二次函数的图象过点(1,0)，它的顶点坐标是(8,9)，求这个二次函数的关系式．【答案】解析式为29(8)949yx【解析】设二次函数的解析式为：2(8)9(0)yaxa，∵二次函数的图象过点(1,0)∴949a∴二次函数的解析式为29(8)949yx【例4】已知抛物线的顶点是(2,4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式．【答案】解析式为2284yxx．【解析】设二次函数的解析式为：2(2)4(0)yaxa∵抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4∴二次函数的图象过点(0,4)∴24(02)4a∴2a∴二次函数的解析式为22(2)4yx，即二次函数解析式为2284yxx．例题精讲第一阶段·二次函数解析式与几何变换·教师版Page6of17【例5】已知抛物线的对称轴为3x，且抛物线经过(1,0)，与y轴的交点到原点的距离为52，求此抛物线的解析式．【答案】解析式为215322yxx或215322yxx【解析】设二次函数的解析式为：2(3)(0)yaxka已知抛物线与y轴的交点到原点的距离为52，则抛物线与y轴的交点坐标为5(0,)2或5(0,)2，当抛物线过点(1,0)和5(0,)2时有220(13)5(03)2akak解此方程组得：122ak∴二次函数的解析式为215322yxx．当抛物线过点(1,0)和5(0,)2时有220(13)5(03)2akak解此方程组得：122ak∴二次函数的解析式为215322yxx综上，二次函数的解析式为215322yxx或215322yxx．【例6】已知一抛物线与x轴的交点是(2,0)A、(1,0)B，且经过点(2,8)C，求这个二次函数的解析式．【答案】解析式为2224yxx【解析】设二次函数的解析式为：(2)(1),(0)yaxxa且抛物线经过点(2,8)C∴8(22)(21)a∴2a二次函数的解析式为：2224yxx．【例7】已知二次函数的图象与x轴有两个交点(3,0)A，(1,0)B，且顶点到x轴的距离为4，求此二次函数解析式．【答案】解析式为223yxx或223yxx．【解析】已知二次函数的图象与x轴有两个交点(3,0)A，(1,0)B设二次函数的解析式为：(3)(1),(0)yaxxa第一阶段·二次函数解析式与几何变换·教师版Page7of17且知顶点到x轴的距离为4则其顶点为(1,4)或(1,4)当抛物线过点(1,4)时有4(13)(11)a∴1a∴二次函数的解析式为：223yxx当抛物线过点(1,4)时有4(13)(11)a∴1a∴二次函数的解析式为：223yxx综上，二次函数的解析式为223yxx或223yxx．【例8】已知二次函数的图象经过(1,3)A、(1,3)B、(2,6)C；求它的解析式．【答案】解析式为22yx．【解析】设解析式为2(0)yaxbxca，把(1,3)A、(1,3)B、(2,6)C各点代入上式得3,3,642.abcabcabc解得1,0,2.abc∴解析式为22yx．【例9】已知二次函数的图象经过(1,2)、(3,2)、(2,4)，求它的解析式．【答案】解析式为2248yxx【解析】设所求抛物线的解析式为：12()()2,(0)yaxxxxa，则有(1)(3)2yaxx又已知图象过(2,4)∴4(21)(23)2a∴2a∴所求抛物线的解析式为：2(1)(3)2yxx则二次函数解析式为2248yxx．【例10】已知一个二次函数，当1x时，2y；当0x时，2y；当5x时，3y．求这个二次函数的解析式．【答案】解析式为21122020yxx．【解析】设此二次函数解析式为：2(0)yaxbxca，第一阶段·二次函数解析式与几何变换·教师版Page8of17由已知得：222553abccabc，解得1201202abc∴此二次函数的解析式为21122020yxx．【例11】已知一抛物线的形状与21722yx的形状相同．它的对称轴为2x，它与x轴的两交点之间的距离为2，求此抛物线的解析式．【答案】解析式为213222yxx或213222yxx【解析】设所求抛物线的解析式为：12()()(0)yaxxxxa，∵所求抛物线的对称轴为2x，且它与x轴的两交点之间的距离为2，∴它与x轴的两交点的坐标为30，和10，．∴(3)(1)yaxx．又∵所求抛物线的形状与21722yx的形状相同，∴12a，即：12a．∴所求抛物线的解析式为：1(3)(1)2yxx或1(3)(1)2yxx，化为一般式得213222yxx或213222yxx．【例12】将二次函数22yx的图象先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的图象的解析式为()A．2213yxB．2213yxC．2213yxD．2213yx【答案】B【解析】函数22yx的图象的顶点为00，，把函数22yx向右移一个单位，再