初中数学专题

初中数学专题数学思想方法数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略．数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分．数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论思想等．解题方法()整体思想：整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个(或多个)未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决．()转化思想：在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题．()分类讨论思想：体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．分类的原则：①分类中的每一部分是相互独立的；②一次分类按一个标准；③分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复，也不遗漏．()方程思想：用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)．这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用．()函数思想：用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质．()数形结合思想：从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法(以形助数)，或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题(以数助形)．数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决．1．(2015·攀枝花)分式方程1x－1＝3x＋1的根为_____.2．(2015·朝阳)一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)与足球被踢出后经过的时间t(s)之间具有函数关系h＝at2＋19.6t，已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的最大高度是_________m.3．(2014·绵阳)如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为_______cm2.(结果保留π)4．(2015·娄底)已知a2＋2a＝1，则代数式2a2＋4a－1的值为()A．0B．1C．－1D．－2π6．(·邵阳)如图，在等腰△中，直线垂直底边，现将直线沿线段从点匀速平移至点，直线与△的边相交于，两点．设线段的长度为，平移时间为，则下图中能较好反映与的函数关系的图象是()整体思想【例】(·十堰)当＝时，＋＋的值为－，则(＋－)(－－)的值为()．－．－．．【点评】本题考查了代数式求值．代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式(＋)的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．[对应训练]．(·龙岩)若－＝π，则－＋π＝．π转化思想【例2】(2015·深圳)解方程：x2x－3＋53x－2＝4.解：去分母得：3x2－2x＋10x－15＝4(2x－3)(3x－2)，整理得：3x2－2x＋10x－15＝24x2－52x＋24，即7x2－20x＋13＝0，分解因式得：(x－1)(7x－13)＝0，解得：x1＝1，x2＝137，经检验x1＝1与x2＝137都为分式方程的解【点评】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．[对应训练]．(·枣庄)图①所示的正方体木块棱长为，沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为.解：解析：如图所示：△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形，在Rt△BCD中，CD＝BC2＋BD2＝62cm，∴BE＝12CD＝32cm，在Rt△ACE中，AE＝AC2－CE2＝36cm，∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为(32＋36)cm.故答案为：(32＋36)(32＋36)分类讨论思想【例3】(2015·茂名)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm.动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒(0＜t＜103)，连接MN.(1)若△BMN与△ABC相似，求t的值；(2)连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．解：(1)由题意知，BM＝3tcm，CN＝2tcm，∴BN＝(8－2t)cm，BA＝62＋82＝10(cm)，当△BMN∽△BAC时，BMBA＝BNBC，∴3t10＝8－2t8，解得：t＝2011；当△BMN∽△BCA时，BMBC＝BNBA，∴3t8＝8－2t10，解得：t＝3223，∴△BMN与△ABC相似时，t的值为2011或3223(2)过点M作MD⊥CB于点D，由题意得：DM＝BMsinB＝3t·610＝95t(cm)，BD＝BMcosB＝3t·810＝125t(cm)，BM＝3tcm，CN＝2tcm，∴CD＝(8－125t)cm，∵AN⊥CM，∠ACB＝90°，∴∠CAN＋∠ACM＝90°，∠MCD＋∠ACM＝90°，∴∠CAN＝∠MCD，∵MD⊥CB，∴∠MDC＝∠ACB＝90°，∴△CAN∽△DCM，∴ACCN＝CDDM，∴62t＝8－125t95t，解得t＝1312【点评】分类讨论，数形结合是解答此题的关键．[对应训练]．(·绥化)在一条笔直的公路旁依次有，，三个村庄，甲、乙两人同时分别从，两村出发，甲骑摩托车，乙骑电动车沿公路匀速驶向村，最终到达村．设甲、乙两人到村的距离，()与行驶时间()之间的函数关系如图所示，请回答下列问题：()，两村间的距离为，＝；()求出图中点的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；()乙在行驶过程中，何时距甲?解：(2)设y1＝k1x＋120，代入(2，0)解得y1＝－60x＋120，y2＝k2x＋90，代入(3，0)解得y2＝－30x＋90，由－60x＋120＝－30x＋90解得x＝1，则y1＝y2＝60，所以P(1，60)表示经过1小时甲与乙相遇且距C村60km.(3)当y1－y2＝10，即－60x＋120－(－30x＋90)＝10，解得x＝23，当y2－y1＝10，即－30x＋90－(－60x＋120)＝10，解得x＝43，当甲走到C地，而乙距离C地10km时，－30x＋90＝10，解得x＝83；综上所知当x＝23h，或x＝43h，或x＝83h时，乙距甲10km方程思想【例】(·淄博)为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：档次每户每月用电数(度)执行电价(元度)第一档小于等于第二档大于小于第三档大于等于例如：一户居民月份用电度，则需缴电费×＝(元)．某户居民，月份共用电度，缴电费元．已知该用户月份用电量大于月份，且，月份的用电量均小于度．问该户居民，月份各用电多少度？解：当月份用电量为度≤度，月份用电(－)度，由题意，得＋(－)＝，解得：＝，∴月份用电－＝度．当月份用电量为度＞度，六月份用电量为(－)度，由题意，得＋(－)＝，＝，原方程无解．∴月份用电量为度，月份用电度【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题、方程思想的运用、分类讨论思想的运用，另外要注意：总价＝单价×数量．[对应训练]4．(2015·宜宾)如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A，B的供水路线进行优化改造．供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A，B之间的距离为300(3＋1)米，求供水站M分别到小区A，B的距离．(结果可保留根号)解：过点M作MN⊥AB于N，设MN＝x米．在Rt△AMN中，∵∠ANM＝90°，∠MAN＝30°，∴MA＝2MN＝2x，AN＝3MN＝3x.在Rt△BMN中，∵∠BNM＝90°，∠MBN＝45°，∴BN＝MN＝x，MB＝2MN＝2x.∵AN＋BN＝AB，∴3x＋x＝300(3＋1)，∴x＝300，∴MA＝2x＝600，MB＝2x＝3002.故供水站M到小区A的距离是600米，到小区B的距离是3002米函数思想【例】(·南通)某网店打出促销广告：最新款服装件，每件售价元．若一次性购买不超过件时，售价不变；若一次性购买超过件时，每多买件，所买的每件服装的售价均降低元．已知该服装成本是每件元，设顾客一次性购买服装件时，该网店从中获利元．()求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；()顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？解：(1)y＝300x－200x＝100x，（0≤x≤10，且x为整数）[300－3（x－10）－200]x＝－3x2＋130x（10＜x≤30，且x为整数）(2)在0≤x≤10时，y＝100x，当x＝10时，y有最大值1000；在10＜x≤30时，y＝－3x2＋130x，当x＝2123时，y取得最大值，∵x为整数，根据抛物线的对称性得x＝22时，y有最大值1408.∵1408＞1000，∴顾客一次购买22件时，该网站从中获利最多【点评】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意得出与的函数关系是解题关键，解答时注意函数思想的应用．[对应训练]．(·温州)某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为，则能建成的饲养室面积最大为.数形结合思想【例6】(2015·南昌)如图，已知直线y＝ax＋b与双曲线y＝kx(x＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(A与B不重合)，直线AB与x轴交于P(x0，0)，与y轴交于点C.(1)若A，B两点坐标分别为(1，3)，(3，y2)，求点P的坐标．(2)若b＝y1＋1，点P的坐标为(6，0)，且AB＝BP，求A，B两点的坐标．()结合()，()中的结果，猜想并用等式表示，，之间的关系(不要求证明)．解：(1)∵直线y＝ax＋b与双曲线y＝kx(x＞0)交于A(1，3)，∴k＝1×3＝3，∴y＝3x，∵B(3，y2)在反比例函数的图象上，∴y2＝33＝1，∴B(3，1)，∵直线y＝ax＋b经过A，B两点，∴a＋b＝3，3a＋b＝1，解得a＝－1，b＝4∴直线为y＝－x＋4，令y＝0，则x＝4，∴P(4，0)(2)如图，作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE，BG交于H，则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，∴CDOC＝ADOP，PFPE＝BFAE＝PBPA，∵b＝y1＋1，AB＝BP，∴1y1＋1＝x16，PFPE＝BFAE＝12，∴B(6＋x12，12y1)∵A，B两点都是反比例函数图象上的点，∴x1·y1＝6＋x12·12y1，解得x1＝2，代入1y1＋1＝x16，解得y1＝2，∴A(2，2)，B(4，1)(3)根据(1)，(2)中的结果，猜想：x1，x2，x0之间的关系为x1＋x2＝x0【点评】本题考查了待定系数法求解析式以及反比例函数和一次函数的交点问题，数形结合思想的运用是解题的关键．[对应训练]．(·嘉兴)如图，抛物线＝－＋＋＋交轴与点(，)和(，)，交轴于点，抛物线的顶点为，下列四个命题：①当＞时，＞；②若＝－，则＝；③抛物线上有两点(，)和(，)，若＜＜，且＋＞，则＞；④点关于抛物线对称轴的对称点为，点，分别在轴和轴上，当＝时，四边形周长的最小值为.其中真命题的序号是()．①．②．③．④试题(·哈尔滨)如图，在矩形中，＝，＝，若点在边上，连接，，△是以为腰的等腰三角形