不定积分求解方法及技巧小汇总

1不定积分求解方法及技巧小汇总摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。一．不定积分的概念与性质定义1如果F（x）是区间I上的可导函数，并且对任意的xI，有F’(x)=f(x)dx则称F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数。定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即存在可导函数F（x），使得F（x）=f(x)（xI）简单的说就是，连续函数一定有原函数定理2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，则（1）F（x）+C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数；（2）f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。定义2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F（x）+C称为f(x)在区间I上的不定积分，记为f(x)d(x),即f(x)d(x)=F(x)+C其中记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数。性质1设函数f(x)和g(x)存在原函数，则[f(x)g(x)]dx=f(x)dxg(x)dx.性质2设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，则kf(x)dx=kf(x)dx.二．换元积分法的定理如果不定积分g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[(x)]’(x).做变量代换u=(x),并注意到‘（x）dx=d(x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分，于是有g(x)dx=f[(x)]’(x)dx=f(u)du.如果f(u)du可以积出，则不定积分g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。定理1设F(u)是f(u)的一个原函数，u=(x)可导，则有换元公式2f[(x)]’(x)dx=f(u)du=F(u)+C=F[(x)]+C.第一类换元法是通过变量代换u=(x),将积分f[(x)’(x)dx化为f(u)du.但有些积分需要用到形如x=(t)的变量代换，将积分f(x)dx化为f[(t)]’(t).在求出后一积分之后，再以x=(t)的反函数t=1(X)带回去，这就是第二类换元法。即f(x)dx={f[(t)]’(t)dt})(1Xt.为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数t=1（x）存在的条件，给出下面的定理。定理2设x=(t)是单调，可导的函数，并且‘（t）0.又设f[(t)]’(t)具有原函数F（t）,则f(x)dx=f[(t)]’(t)dt=F(t)+C=F[1(x)]+C其中1（x）是x=（t）的反函数。三．常用积分公式1基本积分公式（1）kdx=kx+C(k是常数)；（2）xudx=1ux1u+C(u-1);（3）xdx=lnx+C；（4）2x1dx=arctanx+C;(5)2x1dx=arcsinx+C;(6)cosxdx=sinx+C;(7)sinxdx=-cosx+C;(8)x2cosdx=sec2xdx=tanx+C;(9)xdx2sin=csc2xdx=-cotx+C;(10)secxtanxdx=secx+C;(11)cscxcotxdx=-cscx+C;(12)exdx=ex+C;(13)axdx=ex+C;(14)shxdx=chx+C;(15)chxdx=shx+C.(16)tanxdx=-lncosx+C;(17)cotxdx=lnsinx+C;(18)secxdx=lntanxsecx+C;(19)cscxdx=lnxcotcscx+C;(20)22xadx=axxlna1a+C;3(21)22xadx=arcsinax+C;(22)22xadx=ln(x+22ax+C;(23)22axdx=ln22axx+C.2.凑微分基本类型四．解不定积分的基本方法4四．求不定积分的方法及技巧小汇总~1.利用基本公式。（这就不多说了~）2.第一类换元法。（凑微分）设f(μ)具有原函数F(μ)。则CxFxdxfdxxxf)]([)()]([)(')]([其中)(x可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：例1：dxxxxx)1(ln)1ln(【解】)1(1111)'ln)1(ln(xxxxxxCxxxxdxxdxxxxx2)ln)1(ln(21)ln)1(ln()ln)1(ln()1(ln)1ln(例2：dxxxx2)ln(ln1【解】xxxln1)'ln(Cxxxxxdxdxxxxln1)ln(ln)1(ln1223.第二类换元法：设)(tx是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('ttft又设具有原函数，则有换元公式dtttfdxf)(')]([x)(第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：achtxtaxtaxaxashtxtaxtaxaxtaxtaxxa；；：；；：；：cscsec)3(cottan)2(cossin)1(2222225也奏效。，有时倒代换当被积函数含有：：txcbxaxxtdcxbaxdcxbaxtbaxbaxmnnnn1)6()5()4(24.分部积分法.公式：dd分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取、时，通常基于以下两点考虑：（1）降低多项式部分的系数（2）简化被积函数的类型举两个例子吧~！例3：dxxxx231arccos【解】观察被积函数，选取变换xtarccos,则tdttdtttttdxxxx3323cos)sin(sincos1arccosCxxxxxCttttttdttttdtttttttttdtdttarccos1)2(313291cos91cos32sinsin31cos)1sin31(sinsin31)sinsin31(sinsin31)sinsin31(sin)1(sin22333233332例4：xdx2arcsin【解】dxxxxxxxdx22211arcsin2sinarcsinCxxxxxdxxxxxxxxxdxx2arcsin12arcsin121arcsin12arcsin1arcsin2arcsin222226上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在dd中，、的选取有下面简单的规律：选取的函数不能改变。，会出现循环，注意，，，)3(sin,cos)3()(arcsin,arctan,ln)2(cos,sin,)()1(xxexPxxxaxaxexPaxmaxm将以上规律化成一个图就是：但是，当xxarcsinln，时，是无法求解的。对于（3）情况，有两个通用公式：CbxbbxabaedxbxeICbxbbxabaedxbxeIaxaxaxax)sincos(cos)cossin(sin2222215.几种特殊类型函数的积分。（1）有理函数的积分有理函数)()(xQxP先化为多项式和真分式)()(*xQxP之和，再把)()(*xQxP分解为若干个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现nnxadxI)(22时，记得用递推公式：121222)1(232))(1(2nnnInanaxnaxI）例5：dxxxxxx223246)1(24【解】223222346223246)1(24)1()1(24xxxxxxxxxxxx22322)1(241xxxxxμν（lnxarcsinx）Pm(x)（a^xsinx)72222422242223222)1(12)1(24)1(24)1ln(211xdxxxxxdxxxxdxxxxCxdxxxCxxCddd)1(1111))1(11()1()1()1(122222222222故不定积分求得。（2）三角函数有理式的积分万能公式：2tan12tan1cos2tan12tan2sin222xxxxxx化为有理函数可用变换2tan)cos,(sin)cos,(sinxtdxxxQxxP的积分，但由于计算较烦，应尽量避免。对于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成xxxxsincoscossin或。再用待定系数xbxaxbxaBxbxaAsincos)sin'cos'()sincos(来做。（3）简单无理函数的积分一般用第二类换元法中的那些变换形式。像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现xx1和时，可令tx2tan；同时出现xx1和时，可令tx2sin；同时出现xxarcsin12和时，可令x=sint；同时出现xxarccos12和时，可令x=cost等等。学习完不定积分，觉得这部分内容对我们思维的灵活性要求很大，应该加大习题量，达到见多识广的效果，做完习题注意总结，以及类似题目的整理。熟记三角函数公式，不定积分基本公式，掌握各种求积分的方法。