椭圆上的两个最大角

第1页共2页椭圆上的两个最大角吉林省通化市第一中学刘天云134001问题１．已知P是椭圆12222byax(0ba)上的任意一点，F1、F2是椭圆的焦点，B是椭圆的短轴的一个端点，证明：∠F1BF2≥∠F1PF2．证明：设|F1F2|=c2，∠F1PF2=，0≤≤，|PF1|=1r，|PF2|=2r，则1r＋2r＝a2，在△F1PF2中，由余弦定理可得21222212)2(cosrrcrr212212212)2(2)(rrcrrrr12)2()2(2122rrca12212rrb≥1222212rrb1222ab当且仅当21rr时取等号，此时，cos的值最小，的值最大．所以∠F1BF2≥∠F1PF2．问题２．已知P是椭圆12222byax(0ba上的任意一点，A1、A2是椭圆长轴的两个端点，B是椭圆的短轴的一个端点，证明：∠A1BA2≥∠A1PA2．证明：直线BA2的中垂线的方程是)2(2axbaby，令0x，得baby222，OYXF21BFP第2页共2页则点M），bab220(2是过A1、B、A2三点的圆的圆心，则⊙M的半径r)22(2babbbab222bba222要证明∠A1BA2≥∠A1PA2，只需证|PM|≥r即可．下证：|PM|≥r．事实上，P)(yx，0(≤y≤)b和M），bab220(2的距离|PM|=222[()]22baxyb=22222(1)[()]22ybaaybb=24222243(1)()24abaabybb因为，0≤y≤b，2210ab，当0y或yb时，|PM|取最小值24222243(1)()24abaabbbbba222=r即：|PM|≥r，这说明∠A1BA2≥∠A1PA2．对以上两个问题的解答，还有其他方法，这是比较直观而且便于学生接受的好思想，好结论．不当之处敬请同行指教．MPAB12AXYO