9-1-简谐振动的规律

第九章振动学基础9-0教学基本要求9-1简谐振动的规律9-2简谐振动的描述9-3简谐振动的合成第九章振动学基础教学基本要求一理解简谐振动的基本特征,了解研究谐振子模型的意义.*二能建立一维简谐振动的微分方程,能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程,并理解其物理意义.三理解描述简谐振动的各物理量的物理意义和决定因素.四理解旋转矢量法和相位差的意义,会用旋转矢量法分析和解决简谐振动问题,会做振动曲线.五理解两个同方向、同频率简谐振动的合成规律.*六了解相互垂直的两个同频率简谐振动的合成.9-1简谐振动的规律预习要点1.注意简谐振动的规律和特点.如何判断一个振动是否为简谐振动？2.简谐振动的能量有什么特点?3.简谐振动的周期由什么因素决定？如何计算一简谐振动的周期？4.研究谐振子模型的意义何在？物体或物体的某一部分在一定位置附近来回往复的运动实例:心脏的跳动，钟摆，乐器，地震等1机械振动平衡位置一简谐运动简谐振动最简单、最基本的振动谐振子作简谐振动的物体简谐振动复杂振动合成分解2简谐振动1定义2简谐振动的条件1）在平衡位置附近来回振动.2）受回复力作用.3弹簧振子一个轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的物体，就构成一个弹簧振子.xo弹Fx物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化，这种运动叫简谐振动.振动的成因：回复力+惯性简谐运动的特征：加速度与位移的大小x成正比，方向相反a4简谐振动的微分方程makxF22dtxdaxmkmF022xmkdtxd令mk20222xdtxd有简谐振动微分方程)cos(tAx解微分方程xo弹Fx5简谐振动速度和加速度6简谐振动的能量)2cos()sin(tAtAdtdxv)cos()cos(2222tAtAdtxda（1）动能)(sin21)sin(212122222ktAmtAmmEvmk/2由)(sin2122tkA（2）势能线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒.OxXm)(cos2121222ptkAkxE（3）机械能222pk2121kAAmEEE弹簧振子在振动过程中，系统的动能和势能都随时间发生周期性变化，但动能和势能的总合保持为一个常量，即作简谐运动的系统机械能守恒.二简谐振动的振幅、周期和频率1、振幅A周期T：完成一次完全振动所需的时间2、周期)cos(0tAx0)(cosTtA)2cos(0tA2T2TmaxxAtx图AAxT2Tto(2)圆频率（角频率）：２秒内完成的全振动的次数(1)频率：单位时间内所完成的全振动的次数T1(3)固有圆频率：仅由振动系统的力学性质所决定的频率2Tπ2π2,,T都表示简谐运动的周期性，反映振动的快慢.kmTπ2弹簧振子固有周期mk2由弹簧振子固有圆频率km3、频率、圆频率tx图tv图ta图TAA2A2AxvatttAAoooT)cos(tAx0取π2T)2πcos(tA)sin(tAv)πcos(2tA)cos(2tAaT三简谐振动图像tkAE22pcos2122k1sin2EkAt4T2T43T能量otTtxtvv,xtoTtAxcostAsinv221kAE0简谐运动势能曲线简谐运动能量守恒，振幅不变kEpEx221kAEAApExOEBC能量守恒简谐运动方程导出常量222121kxmEv0)2121(dd22kxmtv0ddddtxkxtmvv0dd22xmktx例9-1例1质量为的物体，以振幅作简谐运动，其最大加速度为，求：kg10.0m100.12（1）振动的周期；（2）通过平衡位置的动能；（3）总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？2sm0.4Aamaxs314.0π2T1s20J100.23（2）222maxmax,k2121AmmEv解（1）2maxAa已知2max2sm0.4m100.1kg10.0aAm，，T；(2)maxk,E求:(1)（4）pkEE时J100.13pE由222p2121xmkxE2p22mEx24m105.0总能量E；（3）max,kEEJ100.23解(4)何处动势能相等?求:(3)cm707.0x已知2max2sm0.4m100.1kg10.0aAm，，2）无阻尼时的自由振动（1）平衡位置与坐标原点：铅直位置为角平衡位置，o为角坐标原点。（2）恢复力矩的特点：重力对过悬点0/的水平轴的力矩为：sinmglM负号表示力矩方向始终与角位移方向相反。1）定义)5的摆动(θ在竖直平面内作小角度在重力作用下,:条件轻绳与质点固联一端固定的不可伸长的:构成o1、单摆/o0lgmT/o0mglmglMsinsin5，时lgt22dd22ddtJmgl2mlJ单摆lgmT/o0lg2令0dd222t)cos(mtglTπ20222xdtxd222ddt由定轴转动的转动定律：)cos(tAx2）同单摆一样分析可得复摆运动微分方程2、复摆2mglJ令0222dtd则得sinMmglMmgl22dJmgldt由定轴转动的转动定律：⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙c●lmg1)定义同单摆条件：轴转动构成：刚体绕水平光滑──式中指质心到悬点的距离l222d0dt)cos(mtmglJTπ2角谐振动mglJTJmglπ22π*lP（C点为质心）CO转动正向2mglJ重力矩sin21mglMJM22dtdJsin2122mgldtdJ“–”表示力矩与张角方向相反.解:当5时,sin0222Jmgldtd例题9-2:质量为m的,长度为的匀质细棒，绕o点作小角度摆动.若不计棒与轴的摩擦力和空气阻力。试证明在摆角很小时，细棒的摆动为简谐振动，并求振动周期.llgmO令lg2320222dtd得到谐振动微分方程:231mlJ02322lgdtdglT322由0222Jmgldtd小结：简谐运动的方程和特征222d0dxxt（2）简谐运动的动力学方程kxF（1）物体受线性回复力作用平衡位置0x)sin(tAv)cos(tAx（3）简谐运动的运动学方程xa2（4）加速度与位移成正比而方向相反Jmgl复摆mk弹簧振子lg单摆固有角频率固有振动周期2mTk2lTg2JTmgl例4一质量为m的物体悬挂于轻弹簧下端，不计空气阻力，试证其在平衡位置附近的振动是简谐振动.证明如图所示，以平衡位置A为原点，向下为x轴正向，设某一瞬时振子的坐标为x，则物体在振动过程中的运动方程为式中l是弹簧挂上重物后的静伸长，因为mg＝kl，所以22()dxmkxlmgdt22dxmkxdt2220dxxdt式中.于是该系统作简谐振动.2km