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数概念教学研究曹培英开拓视野深化研究促进内涵发展一、教学研究的现状与反思研究了近百年，怎样突破？似乎每个角落都被反复挖掘，似乎早就没了未开垦的处女地。就教学研究教学的局限性不言而喻。怎样跳出局限？容易形成共识：必须拓宽视野。怎样拓宽视野？怎样拓宽视野？历史观：数学文化的重要内涵。1972年成立了专门研究数学史与数学教育的国际组织（HPM）。现状呢？数学文化只是“花边”“点缀”“调料”。数学文化的教学功能待挖掘、提升。数概念源于多少的判断。最初的判断方法是一一对应。这是数学的第一次抽象！一、教学研究的现状与反思一、教学研究的现状与反思怎样拓宽视野？历史观：数学观：数学教学及其研究的统领性观点。“不了解、曲解学科本意的改进甚至是一种危险”。(顾泠沅)“何为大数？”“100万有多大？”100万细菌、星球……“从现有的课例(包括‘课标’)列举的往往是一些没事找事、人为编造、十分牵强的例子，误人不浅”。—方运加一、教学研究的现状与反思怎样拓宽视野？历史观：数学观：教学观：在研究“学”的基础上研究“教”。如今，“学情分析”已成教案规定栏目，但大多以教材分析的“应然”代替“实然”，用经验判断代替真实调研……例如：“几个与第几个”究竟难在哪里？请看真实的调研。实验１：教师左右手各拿5支铅笔，然后分别将手伸给学生，请学生从这只手中拿走三支笔，再从另一只手中拿走第三支笔。”实验结果是，所有被试都能拿对。实验２：示生活情境图，请学生看图说一说(教师口述)：“小胖排在第几个，小胖的前面有几个小朋友，后面又有几个小朋友。”实验结果是，同样没有学生发生错误。以上两个测试表明，学生完全能够正确区分生活情境中“几个和第几个”的不同含义，他们不一定能清晰地表达两者的区别，但能借助生活经验正确回答有关的实际问题。一、教学研究的现状与反思请看真实的调研。实验3：看图回答。△△□△○□△△○△●□△△■○△□△①从左数起，●是第()个，从右数起，第5个图形是()。②■的右边有（）个图形，■的左边有（）个图形。③上面一共有（）个图形。看着实物和实物图能说出正确答案的学生，面对由文字叙述的题目时，纷纷陷入了困惑与茫然。分析：问题出在审题：学生中有的左右不分，有的不识字，有的识字但不理解题目意思。当教师读题后，特别是采用读一小题、填一小题的方式后，只有左右不分的学生出错。结论：同一句指导语，小学生对语言指令的反应，听觉要比视觉更为灵敏、正确。即听觉理解优于视觉理解。最佳对策：等待语文教学的进展！一、教学研究的现状与反思主要研究视角：数学史数学课程论教学论心理学民族文化融合教学法一、教学研究的现状与反思看来，只有在回归本原，秉承解放思想、实事求是精神的前提下，多视角的研究才有实际意义。原来学欧美：学科教学法核心问题：教什么？怎么教？怎么学？学习前苏联：学科教材教法核心问题：教什么？怎么教？新课改以来：学科教育学核心问题：新理念；新课程；新方法；新手段“教教材”→“用教材教”关注“教”甚于关注“学”“教什么永远比怎么教更重要”？因为明确教什么是研究怎么教？怎么学？的前提！三问题都不可或缺一、教学研究的现状与反思美国教师资格认证、培训只关注教育通识看不到学科的影子。“缺失的范式”；教师最重要的知识是学科教学知识（PCK）针对具体教学内容的教学知识。下面以教学内容为线索展开讨论,着重研讨历来较少关注的问题。舒尔曼(1986)PCK背景、评价、课程、学科性质、环境、文化等学科知识、关于学生的知识一、教学研究的现状与反思二、关于自然数的认识1.数的抽象没有抽象就没有数学，真正的数学学习离不开抽象。然而，抽象从来就没有进入小学的课程目标，相关的教学一直处于自发而非自觉状态。例如，认识1需要抽象吗？……1二、关于自然数的认识1.数的抽象没有抽象就没有数学，真正的数学学习离不开抽象。然而，抽象从来就没有进入小学的课程目标，相关的教学一直处于自发而非自觉状态。例如，认识1需要抽象吗？又如，比多少的教学。鲜为人知的经典案例……心理学解释：斯特鲁普效应（Stroop效应）现在的教材处理：倾向于同类量比较。1.数的抽象没有抽象就没有数学，真正的数学学习离不开抽象。然而，抽象从来就没有进入小学的课程目标，相关的教学一直处于自发而非自觉状态。二、关于自然数的认识“返璞归真”异类量“比多少”的尝试学生首先想到：猴与水果比还能比什么？水果和水果比如：桃和香蕉比与猴比香蕉结果一样3＞2二次抽象；渗透等量代换：二、关于自然数的认识2.认知的若干关节点比较公认的“序”人类（数是数出来的）：3→5→10→……→进位制学龄前儿童（认数的一般发展）：3→10→20→100→……教材认数的编排(配合四则计算)：10→20→100→万→多位数(十进制)二、关于自然数的认识2.认知的若干关节点学龄前儿童认数的关节点：10→20→99，100→……幼儿数20的案例：儿：1，2，3……19，母：下一个？儿：十十10→20,30……→类推100,200……二、关于自然数的认识2.认知的若干关节点学龄前儿童认数的关节点：10→20→99，100→……小学数学认数的关节点万→十万（个级→万级）教学十万的案例：生：1万,2万…9万师：再添上1万是生：一亿1万，2万……→十万，2十万…千位百位十位个位个级万级千亿位百亿位十亿位亿位亿级让学生自己类推万位千位百位十位个位千万位百万位十万位个万位三、关于小数的认识1.小数与分数“小数是十进分数”有问题吗？自然数有理数整数分数无理数实数有限或循环小数无限不循环小数把小数看作十进分数仅局限在有理数范围内。小数三、关于小数的认识2.小数与整数采用整数位值原则书写的十进分数（几十年的老话）怎样加工，为儿童理解？整数…小数十分十分十分之一百分之一千分之一百十一…•十进十进回归数学本色促进概念同化渗透对立统一思想10.10.010.00110100？？？？十进制数模型位值制、十进制计数法“最妙的发明”四、关于分数的认识世界公认的教学难点“学习分数是儿童数学发展上的最严重的障碍”“1”的累加→“1”的等分两个数→合起来表示一个数本质上是从自然数到非负有理数的跨越四、关于分数的认识1.分数的含义国外众多学者认为有五种含义：部分与整体商比测量算子(原始意义)(解决除法封闭问题)(仅限同类量的比较)(以1/b为单位去量)(将一个集合转化为另外一个集合的变换)即将一个特定的量先扩展a倍,再压缩b倍的操作。典型的简单问题复杂化！1.分数的含义国外众多学者认为有五种含义。我们认为：分数本质上是两个量的关系，具有相对性整体与部分的关系两个独立量的关系(测量)“算子”即分数乘法的意义男生人数占全班的2/5男生人数是女生的2/3长是宽的5/3四、关于分数的认识a÷b＝a:b＝a/b(b≠0)四、关于分数的认识2.分数理解的文化因素a÷b＝(b≠0)不同的读写顺序三分之二：分数线-分母-分子（主流）Two-thirds：分子-分数线-分母共同点：“读写一致”不同顺序的影响：各有利弊除法与分数的关系aba÷b＝(b≠0)ab36×23理解为：36×2÷3“算子”36×23理解为：36÷3×2“归一”分数乘法四、关于分数的认识3.中国文化背景下的分数教学写出分数的生成把单位1平均分读出分数的数感2/3什么意思？2/3的意思就是三分之二。读出分数乘法的算法读出分数除法的算法23-成3份-表示其中2份36×23求36的三分之二是多少＝？36÷23已知一个数三分之二是36，求这个数＝？36÷3×236÷2×3五、关于负数的认识分数的认识：宏观→微观负数的认识：同一方向→相反方向五年级学生都已知道负数负数的表示并非重点、难点重点是表示相反意义的量难点是0的重新认识(确定)通常：回避楼层（中国习惯，没有0层）回避比分（进2球失2球记作2:2）01234-4-3-2-1…………五、关于负数的认识1.两方面的来源现实来源“现实意义”与“几何意义”兼容的实例：水平方向铅直方向0居中抽象→数轴让学生自己构造直观呈现儿童的多元表征为了减法运算封闭，使小数能够减大数，将自然数系扩展为整数系。为了除法运算封闭，使两个整数(除数不为0)总能相除，将整数系扩展为有理数系。四则运算通行无阻。学生完全能够自己解决：如：5－7＝？生：“欠2”……五、关于负数的认识1.两方面的来源数学来源5－5＝05－7＝?-2-10123455－3＝2－3-2-1012345－5-2-1012345－7五、关于负数的认识2.正负号与加减号性质符号；运算符号(同一符号，双重意义)正数用“＋”表示，负数用“－”表示的优势：给加减法统一成加法(代数和)带来方便。如-2、6、8的代数和是(-2)+(-6)+(+8)，可写成-2-6+8。既可以读作“负2、负6、正8的和”，也可以读作“负2减6加8”。认知偏差：全新概念，从头摸索实践误区：先估再数，看谁估的准(如认识100、1000的案例)加强应用，培养现实的数感(如教学整万的认识：估人民币的案例)六、关于数感及其培养问题所在：数感、量感不分以特殊的量为载体千差万别的量大小迥异。有效案例：因为“数源于数”。首先，数感是数出来的！六、关于数感及其培养其次，数感是读出来的！6789由()个千，()个百，()个十和()个一组成.6789=()×1000＋()×100＋()×10＋()96789读作()千()百()十()；87699887766回溯以往相关教学策略：在数概念教学中培养数感个十百千如：借助几何直观引入计数单位1231实践表明：万以上数几何直观效果甚微数感必须联系生活不切实际六、关于数感及其培养在运算教学中培养数感口算；笔算；估算；……回溯以往相关教学策略：在数概念教学中培养数感9÷25%＝9×4自动与“一半”相比较数感与运算相辅相成哪题大于1？六、关于数感及其培养通过运算获得数感909000×10000＝90000000(秒)×100＝9000(秒)当时知道，难成素养靠谱的是百百、千千、万万90000000÷60÷60÷8÷365≈8.6(年)数学不靠实验，靠推理获得结论这是数学最本质的特征与精髓只知眼见为实是核心素养的缺失72×15＝1080(米)●1080比1000大一点；1080超过2000的一半。真正的数感，与量无关。在运算教学中培养数感口算；笔算；估算；……回溯以往相关教学策略：在数概念教学中培养数感在解决实际问题中激活数感六、关于数感及其培养儿童也有与量无关的数感。总而言之数感：最朴实的数学素养，就是关于数的感觉与理解。培养数感，决不是联系现实一条路径！数感可以：数出来看出来算出来用出来“回溯式研究”“探索式研究”读出来推出来估出来……六、关于数感及其培养谢谢！欢迎提问共同探讨开拓视野深入实践