第二课时-正、余弦定理在三角形中的应用

高中·数学第二课时正、余弦定理在三角形中的应用高中·数学课标要求:1.掌握三角形的面积公式,会用公式计算三角形面积.2.会用正、余弦定理解决三角形中一些恒等式的证明问题.3.会用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题.高中·数学自主学习课堂探究高中·数学自主学习新知建构·自我整合点击进入情境导学知识探究三角形常用面积公式(1)S=12a·ha(ha表示a边上的高);(2)S=12absinC=12acsinB=;(3)S=12r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).1sin2bcA高中·数学探究:与传统的三角形面积的计算方法相比,用两边及其夹角正弦值之积的一半求三角形的面积有什么优势?提示:主要优势是不必计算三角形的高,只要知道三角形的“基本量”就可以求其面积.高中·数学自我检测1.(三角形面积的计算)在△ABC中,A=60°,AB=1,AC=2,则S△ABC的值为()B(A)12(B)32(C)3(D)23解析:S△ABC=12AB·ACsinA=sin60°=32.故选B.高中·数学2.(三角形中线段长度的计算)等腰△ABC中,顶角A=120°,腰长AB=1,则底边BC长为.解析:易知∠B=∠C=30°,由正弦定理知osin120BC=o1sin30,所以BC=3.答案:3高中·数学3.(三角形中角度的计算)(2016·聊城高二检测)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,则它的顶角的余弦值为.解析:设等腰三角形的底边长为a,顶角为θ,则腰长为2a,由余弦定理得,cosθ=2222448aaaa=78.答案:78高中·数学题型一三角形面积的计算课堂探究典例剖析·举一反三【思考】1.已知三角形ABC的三边长a,b,c,怎样计算该三角形的面积?提示:可以用余弦定理计算cosC,再得出sinC,利用S=absinC可求.122.解决与三角形有关的问题,常用到哪些定理及常见结论?提示:除了正弦定理,余弦定理和三角形内角和定理外,还常用到的结论有:(1)A+B=π-C,2AB=π2-2C.高中·数学(2)在三角形中大边对大角,反之亦然.(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.(4)三角形内的诱导公式sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC(C≠π2),sin2AB=cos2C,cos2AB=sin2C.高中·数学规范解答:(1)因为3a=2csinA,所以sinaA=23c.……………………2分由正弦定理知sinaA=sincC,所以sincC=23c,所以sinC=32.…………………………………………………………4分因为△ABC是锐角三角形,所以C=π3.……………………………………6分【例1】在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且3a=2csinA.(1)确定角C的大小;高中·数学规范解答:(2)因为c=7,C=π3,由面积公式得:12absinπ3=332,即ab=6.……………………………………8分由余弦定理得a2+b2-2abcosπ3=7,所以a2+b2-ab=7,…………………………10分即(a+b)2-3ab=7,所以(a+b)2=25,所以a+b=5.………………………………12分(2)若c=7,且△ABC的面积为332,求a+b的值.高中·数学方法技巧(1)本题采用了整体代换的思想,把a+b,ab作为整体,求解过程既方便又灵活.(2)三角形面积公式有多种形式,根据题中的条件选择最合适的面积公式.在解三角形中通常选用S=12absinC=12bcsinA=12acsinB,这个公式中含有正弦值,可以和正弦定理建立关系,又由正弦值还可求出余弦值,这就可以与余弦定理建立关系,另外面积公式中有两边的乘积,在余弦定理中也有,所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换,关键是根据题中的条件选择正确的变换方向.高中·数学变式探究:在本例中,把“锐角”去掉,其他条件不变.(1)确定角C的大小;解:(1)因为3a=2csinA,所以sinaA=23c,所以sincC=23c,从而sinC=32.所以C=π3或2π3.高中·数学(2)若c=7,△ABC的面积为332,求a+b的值.解:(2)当C=π3时,由面积公式知12absinπ3=332,即ab=6,又由余弦定理,得a2+b2-2abcosπ3=7,所以a2+b2-ab=7.即(a+b)2-3ab=7,所以(a+b)2=25.所以a+b=5.当C=2π3时,由面积公式得12absin2π3=332,即ab=6.又由余弦定理得a2+b2-2abcos2π3=7,所以a2+b2+ab=7.即(a+b)2-ab=7,所以(a+b)2=13,所以a+b=13.高中·数学【备用例1】(2015·全国Ⅱ卷)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1)求;解:(1)S△ABD=12AB·ADsin∠BAD,S△ADC=12AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sinsinBC=ACAB=12.sinsinBC高中·数学(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.解:(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=2.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC,故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6,由(1)知AB=2AC,所以AC=1.22高中·数学题型二平面图形中线段长度的计算解:在△ABD中,设BD=x,则BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA.即142=x2+102-2·10x·cos60°,整理得x2-10x-96=0,解之x1=16,x2=-6(舍去).由正弦定理得sinBCCDB=sinBDBCD,所以BC=o16sin135·sin30°=82.【例2】(2016·湖南永州祁阳月考)如图,在四边形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求BC的长.高中·数学方法技巧三角形中的几何计算问题的解题要点及突破点(1)正确挖掘图形中的几何条件是解题要点,善于应用正弦定理和余弦定理,只需解三角形.(2)求解此类问题的突破点是仔细观察认真分析,迅速发现图形中较为隐蔽的几何条件.高中·数学解:(1)在△BCD中,B=π4,BC=1,DC=63,由正弦定理得sinBCBDC=sinDCB,解得sin∠BDC=πsin463=32,则∠BDC=π3或2π3.又由DA=DC,则A=π6或π3.即时训练2-1:在△ABC中,D为边AB上一点,DA=DC.已知B=π4,BC=1.(1)若DC=63,求角A的大小;高中·数学解:(2)由于B=π4,BC=1,△BCD的面积为16,则12BC·BD·sinπ4=16,解得BD=23.由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cosπ4=1+29-2×23×22=59,故CD=53.又AB=AD+BD=CD+BD=53+23=253,故边AB的长为253.(2)若△BCD的面积为16,求边AB的长.高中·数学解:(1)在△ADC中,由余弦定理,得cos∠CAD=2222ACADCDACAD=71427=277.【备用例2】如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求cos∠CAD的值;7高中·数学解:(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.因为cos∠CAD=277,cos∠BAD=-714.所以sin∠CAD=21cosCAD=22717=217.sin∠BAD=21cosBAD=27114=32114,于是sinα=sin(∠BAD-∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BAD·sin∠CAD=32114×277-（-714）×217=32.(2)若cos∠BAD=-714,sin∠CBA=216,求BC的长.高中·数学在△ABC中,由正弦定理,得sinBC=sinACCBA,故BC=sinsinACCBA=372216=3.高中·数学题型三三角形中三角恒等式的证明问题【例3】在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.求证:=.3222abcsinsinABC规范解答:法一由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,得a2-b2=b2-a2+2c(acosB-bcosA),即a2-b2=c(acosB-bcosA),变形得222abc=coscosaBbAc=accosB-bccosA.由正弦定理sinaA=sinbB=sincC,高中·数学得ac=sinsinAC,bc=sinsinBC,所以222abc=sincossincossinABBAC=sinsinABC.法二sinsinABC=sincoscossinsinABABC=sinsinACcosB-sinsinBCcosA=ac·2222acbac-bc·2222bcabc=22222acbc-22222bcac=22222abc=222abc.所以原等式成立.高中·数学方法技巧三角恒等式中,一般同时含有边和角,证明时既可以化边为角,也可化角为边,然后进行三角变换或者代数变换,通常依据式子的特征合理选择变化角度.高中·数学即时训练3-1:在△ABC中,求证:coscosacBbcA=sinsinBA.证明:左边=22222222cacbaaccbcabbc=2222acba·2222bbca=ba=sinsinBA=右边,所以coscosacBbcA=sinsinBA.高中·数学点击进入课时作业点击进入周练卷