分和乘再现产生的方法及其性质探讨之推广与应用

~1~分和累乘再現數產生的方法及其性質探討之推廣與應用MeansofGenerationofSplitSum-SquaredRecurrentNumbersanditsApplicationsGeneralizationofSomeCuriouslyFascinatingIntegerSequences－幽靈雷劈數‧雷霆數一、研究動機分和累乘再現數（幽靈雷劈數）這個故事，要從幾年前發現171循環節中存在非常有趣的特性開始。其實在2004第三屆旺宏科學獎的「SA3-119：與特殊型質數之倒數關聯的兩平方總和的整數分解」之成果報告書【10】中曾以循環小數玩創意研究，其令人驚訝的結果就已開始醞釀循環小數的奧秘【11】，即下面式子2205882352941176470588235294117647058823530588235294117647058823529411764705882353=+的成立，更可由這個式子引導出更多與117,1257,165537循環節相關的有趣想法；且部分內容引用自2003第二屆旺宏科學獎入圍決賽的創意說明書（SA2-168：與特殊型質數倒數關聯的兩半部分數字平方總和之研究）。如果了解之前所談的相關內容，就可以更容易延伸主題；在2003年台灣國際科展之作品說明書「ConcatenatingSquares」【9】，亦有談到循環小數，其中包含了以上所提到的兩段之平方和（SomeCuriouslyFascinatingIntegerSequences）220588235294117647058823529411764705882353+，且所得到的結果竟然是171循環節中相鄰的兩段數字並列，即「171的趣味」：10.05882352941176470.05882352941176470588235294117647058823529411764717==。真正說到「有趣」的還是「分和累乘再現數（幽靈雷劈數）」，那時並未深入研究【4】，但這次我們試著創意研究【3】之後，深深受到它的「有趣」吸引，引起了我們極大的興趣。為了能了解這份「有趣」，我實際去觀察它們的變化，正式的寫法及說明如下：所謂「分和累乘再現數（幽靈雷劈數）」滿足下面方程22()10nSkqrqr==+=⋅+，數字S是在某個適當位置拆解劈成兩個數再相加，其和的平方仍會等於這個數字S，稱之為「分和累乘再現數（幽靈雷劈數）」【8】。分和累乘再現數（幽靈雷劈數）是在某個適當位置拆解劈成兩個數再相加，其和的平方仍等於這個數。如果不是相加，而是相減又會是怎麼樣的呢？創新創意且首次整合的新結果，提出「雷霆數」與「101n+」的質因數分解的關聯性，建立與其單一除數相關的兩個重要同餘關係式。符號說明：分和累乘再現數（幽靈雷劈數）2()Skkn=是類似3025這樣的數，即一個2n位數，把前n位數當作一個數加上這個數的後n位數，它們之和的平方正好等於這個2n位數（2001第三屆青少年數學國際城市邀請賽：菲律賓-大雅市），對於奇數位的正整數，偏前（或偏後）的拆解成兩個數，求其和後再平方正好等於原數，仍稱它為「分和累乘再現數（幽靈雷劈數）」，它又像幽靈一般地“回家”來了。如果不是相加，而且相減的平方又會等於該數的正整數也是必定存在的，把它們稱之為「幽靈雷劈數的迴響：雷霆數」，以符號2()Tkkn=表示之。~2~二、研究目的(一)描述一個新奇且簡單的方法，以產生分和累乘再現數2()Skkn=及其所對應的正整數k；這個方法源自於【4】的一個觀察，即2()Skkn=中所要對應出的正整數k之必要條件為：k與2k對模9同餘。(二)證明一個分和累乘再現數2()Skkn=及其所對應的正整數k不是模9的同餘類[0]，就是同餘類[1]。任一對模9與2k同餘的正整數k，能有明確的方法與步驟來找滿足210nkqr=⋅+與rqk+=的任意正整數q、r及n，並用電腦代數軟體套件實現我們所述的方法【1】。(三)分和累乘再現數2()Skkn=所對應的正整數k與其平方數對模9同餘，即模9的同餘類集合即為{}[0],[1]；因此，分和累乘再現數（幽靈雷劈數）所對應的正整數k就是由這兩種同餘類所組成。(四)十進位的分和累乘再現數（幽靈雷劈數）所對應的正整數k能証明與(101)n−的單一除數有一對一的對應關係【2】且k與其互補數是成對出現的【4】！能深入探討性質並推廣二進位的偶完全數確為分和累乘再現數（幽靈雷劈數）所對應的正整數k。(五)表列介於1和1010的分和累乘再現數2()Skkn=所對應之正整數k的數列及其模9的同餘類，且【5】列表中的其他數據，都是由10+K(10)所產生的，能完整地證明許多神奇的特性，「分和累乘再現數（幽靈雷劈數）」所對應的正整數k之自然密度為零。(六)能將分和累乘再現數（幽靈雷劈數）與雷霆數所對應的正整數k之一些相關性質【3】作創意的說明；此外，在kqr=±中，q具有偶數性質且r的奇偶性亦可被確定。能結合運用前面所述方法，輕易且相對快速地將指定範圍內的「分和累乘再現數2()Skkn=」與「雷霆數2()Tkkn=」所對應之正整數k的數列產生出來。(七)完整探討「分和累乘再現數（幽靈雷劈數）」神奇的置換循環排列特性，及歸類新發現的某些有趣「分和累乘再現數（幽靈雷劈數）」與「雷霆數」數列之影蹤。(八)從「分和累乘再現數（幽靈雷劈數）」表：20位以內的分和累乘再現數（幽靈雷劈數）推廣【12】「分和累乘再現數（幽靈雷劈數）的迴響」：20位以內的「2()Tkkn=雷霆數」表。(九)創新創意且首次整合的新結果，提出雷霆數2()Tkkn=與(101)n+的質因數分解的關聯性，建立所對應的整數與(101)n+的單一除數有一對一且為映成的對應關係。(十)結合網路線上數學資源【7】：程式碼MechanicalEngineeringProgram2001Publications及整數數列資料庫【5】；能用電腦代數軟體套件完成模9運算及其應用的程序，使用計算機實現本文研究所述的方法，茲一一概略列舉如下。TheExtendedGCD-：∓：ContemporaryMathematics22「Theunitarydivisorsof101n∓」三、研究設備及器材(一)紙筆若干(二)個人電腦二台(三)人腦兩顆(四)滑鼠．印表機(五)工程用計算機(六)電腦代數軟體套件Mathcad~3~四、研究過程與方法(一)文獻探討【4】【12】「里程指示牌-分和累乘再現數（幽靈雷劈數）」查找這類數字的辦法很多【7】，從初等數學到高等數學，應有盡有【5】，已有一些小冊子與文章探討過它及許多其它數字的特性，在DavidWells的奇妙有趣的數字字典【6】中也有收錄進去，此主題之創意是值得研究的對象。://en.wikipedia.org/wiki/Kaprekar_number~mrob/pub/math/seq-kaprekar.html://下文介紹兩種最簡單的辦法。第一種是日本趣味數學名家藤村幸三郎的解法。設四位數的前兩位為q，後兩位為r，由「分和累乘再現數（幽靈雷劈數）」的特性可列出式子：222()10kqrqr=+=⋅+即222(50)()0qrqrr+−+−=把它看成q的一元二次方程，並解出(50)250099qrr=−±−。因為(250099)r−必須是完全平方數，故r只能等於25或1，抓住這個要點跟蹤追擊，我們即可求出四個分和累乘再現數：2025、3025與9801。其中還有一個0001，但根據一般習慣，不可視為四位數，故從略。第二種辦法是日本淺野英夫的解法。設四位數的前兩位與後兩位分別為q、r，於是有222()10(101)qrqrqrq+=⋅+=++−，故2(1)()(1)(101)kkqrqrq−=++−=−，從而可看出()qr+與(1)qr+−中一個是9的倍數，一個是11的倍數。這樣就很容易找出合適的候補者是45、55與99，從而可發現三個分和累乘再現數（幽靈雷劈數）：2025、3025與9801。分和累乘再現數不限於四位，其他位數也有。我們不妨再隨便舉出一個八位數，它是由美國數學家享特所發現的，此數等於60481729，把它分成前後兩段並相加求和，將可得到604817297777+=，而2777760481729=。分和累乘再現數（幽靈雷劈數）它又像幽靈一般地“回家”來了！這就是令我們覺得奇妙、有趣的原因所在【8】。(二)簡介分和累乘再現數（幽靈雷劈數）的定義如下：數字S是在某個適當位置拆解劈成兩個數再相加，所得到的和為k（n位數），且k的平方仍會等於該數字S，稱S為「分和累乘再現數（幽靈雷劈數）」，以符號2()Skkn=表示之；即數字S可分成前後兩段並相加求和，可得到k（n位數），而平方後它又像幽靈一般地“回家”來了。一個分和累乘再現數2()Skkn=滿足下列二個方程式（定義）：~4~210nSkqrkqr⎧==⋅+⎨=+⎩（1k≥且Nn∈），其中Nq∈且010nr≤（Nr∈）；而對於1k，我們要求0q且010nr，r是可以少於n個位數。引用傳統的說法，對所有1n≥而言，1是分和累乘再現數（幽靈雷劈數），因為210101101n⎧=⋅+⎨=+⎩；規定0與形如10的偶乘冪的數都不是分和累乘再現數（幽靈雷劈數）。因為，29(1)9(1)0(1)9(1)09999999999998000001999998000001999999nnnnnn−−−−⎧=⎪⎨+=⎪⎩個個個個個個(1)n≥，也就是說，2(101)n−是分和累乘再現數（幽靈雷劈數），滿足了下列二個方程式：2(101)(102)101101(102)1nnnnn⎧−=−⋅+⎪⎨−=−+⎪⎩其中Nn∈。事實上，在【2】中曾特別設計並提出關於此有趣主題的“略去法”，可從數字(101)n−的質因數分解中來產生任意大小的「分和累乘再現數（幽靈雷劈數）」。本文中，我們將在「(101)n−的單一除數」與「分和累乘再現數（幽靈雷劈數）」之間建立一個一對一且為映成的對應關係並深入加以推廣。在此，a是m的單一除數，意即若abm=且(,)1ab=。(三)主要結果（I）：2()Skkn=與(101)n−的單一除數會有一對一且是映成的對應關係分和累乘再現數2()Skkn=所對應的正整數k與(101)n−的單一除數之間必可建立一個一對一且為映成的對應關係。對每一個正整數1N，使()N+Κ代表滿足下列條件的正整數k的集合：存在正整數q與r，使得2SkqNrkqr⎧==⋅+⎨=+⎩（0rN≤且Nr∈）；依照慣例，我們並不考慮kN=（則qN=，而且規定0r=）的情形，由原來定義的二個方程式，可得(1)(1)kkNq−=−；既然不考慮上述kN=的情況，則有11kN≤≤−（因為若kN≥，由上式可推得kq，此與rqk+=相抵觸）。且集合()N+Κ是非空的，因為1()N+∈Κ。我們假設()kN+∈Κ，既然(,1)1kk−=，由(1)(1)kkNq−=−可知必定存在滿足1ddN′=−及(,)1dd′=之正整數d及