等差数列、等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法

等差、等比的公式性质以及数列的求和方法第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：daann1（d为公差）（2n，*nN）注：下面所有涉及n，*nN省略，你懂的。2、等差数列通项公式：1(1)naand，1a为首项，d为公差推广公式：()nmaanmd变形推广：mnaadmn3、等差中项（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：2baA或baA2（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa4、等差数列的前n项和公式：1()2nnnaaS1(1)2nnnad211()22dnadn2AnBn（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n时，1na是项数为2n+1的等差数列的中间项12121121212nnnnaaSna（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法（1）定义法：若daann1或daann1(常数Nn)na是等差数列．（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa（3）数列na是等差数列bknan（其中bk,是常数）。（4）数列na是等差数列2nSAnBn,（其中A、B是常数）。6、等差数列的证明方法定义法：若daann1或daann1(常数Nn)na是等差数列．7、等差数列相关技巧：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）设项技巧：①一般可设通项1(1)naand②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2adadaadad…（公差为d）；③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3adadadad,…（注意；公差为2d）8、等差数列的性质：（1）当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和211(1)()222nnnddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为0。（2）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。（3）当mnpq时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa。（注：12132nnnaaaaaa，）当然扩充到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。（4）na、nb为等差数列，则12nnnabab，都为等差数列(5)若{na}是等差数列，则232,,nnnnnSSSSS，…也成等差数列(6)数列{}na为等差数列,每隔k(k*N)项取出一项(23,,,,mmkmkmkaaaa)仍为等差数列（7）na、{}nb的前n和分别为nA、nB，则2121nnnnaAbB（8）等差数列{}na的前n项和mSn，前m项和nSm，则前m+n项和mnSmn，当然也有,nmaman，则0mna(9)求nS的最值法一：因等差数列前n项和是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN。法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和即当，，001da由001nnaa可得nS达到最大值时的n值．（2）“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。即当，，001da由001nnaa可得nS达到最小值时的n值．或求na中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，nS取最大值（或最小值）。若Sp=Sq则其对称轴为2pqn注意：1(2)nnnSSan，对于任何数列都适用，但求通项时记住讨论当1n的情况。解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a和d的方程；②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量。（以上加上蓝色的性质希望读者能够自己证明，不是很难，并能够学会运用）第二节：等比数列的相关公式和性质1、等比数列的定义：12nnaqqna0，q为公比2、通项公式：11nnaaq，1a为首项，q为公比推广公式：nmnmaaq，从而得nmnmaqa3、等比中项（1）如果,,aAb成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：2Aab或Aab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列na是等比数列211nnnaaa4、等比数列的前n项和nS公式：(1)当1q时，1nSna(2)当1q时，11111nnnaqaaqSqq11''11nnnaaqAABABAqq（,,','ABAB为常数）5、等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有11(0)nnnnnaaqaqqaa或为常数，{}na为等比数列（2）等比中项：211nnnaaa（11nnaa0）{}na为等比数列（3）通项公式：0nnaABAB{}na为等比数列（4）前n项和公式：'',,','nnnnSAABSABAABAB或为常数{}na为等比数列6、等比数列的证明方法依据定义：若*12,nnaqqnnNa0且或1nnaqa{}na为等比数列7、等比数列相关技巧：（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、q、n、na及nS，其中1a、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：11nnaaq如奇数个数成等比，可设为…，22,,,,aaaaqaqqq…（公比为q，中间项用a表示）；注意隐含条件公比q的正负8、等比数列的性质：(1)当1q时①等比数列通项公式1110nnnnaaaqqABABq是关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比q②前n项和111111''1111nnnnnnaqaaqaaSqAABABAqqqq，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q(2)对任何m,n*N,在等比数列{}na中,有nmnmaaq,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3)若mnst(,,,mnst*N),则nmstaaaa。特别的,当2mnk时,得2nmkaaa注：12132nnnaaaaaa(4)列{}na,{}nb为等比数列,则数列{}nka,{}nka,{}kna,{}nnkab{}nnab(k为非零常数)均为等比数列。(5)数列{}na为等比数列,每隔k(k*N)项取出一项(23,,,,mmkmkmkaaaa)仍为等比数列(6)如果{}na是各项均为正数的等比数列,则数列{log}ana是等差数列(7)若{}na为等比数列,则数列nS，2nnSS，32,nnSS，成等比数列(8)若{}na为等比数列,则数列12naaa,122nnnaaa,21223nnnaaa成等比数列(9)①当1q时，②当1q0时，110{}0{}{nnaaaa，则为递增数列，则为递减数列,110{}0{}{nnaaaa，则为递减数列，则为递增数列③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;④当q0时,该数列为摆动数列。(10)在等比数列{}na中,当项数为2n(n*N)时,1SSq奇偶,。(11)若{}na是公比为q的等比数列,则nnmnmSSqS注意：在含有参数的数列时，若是等比数列，一定要考虑到公比1q的特殊情况。解决等比数列问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a和q的方程；②巧妙运用等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量。关于等差、等比两个引申：1nnakab模式（其中,kb为常数，2n）；1nnnapap模式（其中p为常数，2n）在这里我们以具体的例子给出，使其更容易理解：例1已知数列na，有134nnaa（2n），则求该数列的通项公式解题大致思路：先设13()nnabab，则对于134nnaa123(2)nnaa，那么我们就可以构造数列2na为等比数列，利用等比的相关性质去解决，注意：构造新数列的首项和公比分别是多少？还有你考虑到当1n的这种情况了吗？例2已知数列nb，有122nnnbb（2n），求该数列的通项公式解题的大致思路：122nnnbb（2n）12122nnnnbb11122nnnnbb，相信你已经知道构造什么数列了吧，这两个模式考试中喜欢考，也比较基础，当然也希望通过这两个模式能让你意识到求数列中的构造思想。第三节：数列的求和方法（引用别人的，稍加改进）一、教学目标：1、熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；2、能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算；3、熟记一些常用的数列的和的公式．二、教学重点：特殊数列求和的方法．三、教学过程：（一）主要知识：1、直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11（2）等比数列的求和公式)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn（切记：公比含参数时一定要讨论）2、公式法：222221(1)(21)1236nknnnkn（证明利用立方差公式，332(1)331nnnn，将1,2,3nn用替换，错位相消即可整体得出）2333331(1)1232nknnkn（证明利用4方差，原理同上）3、错位相减法：比如.,,2211的和求等比等差nnnnbabababa4、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式：111)1(1nnnn；1111()(2)22nnnn)121121(21)12)(12(1nnnn!)!1(!nnnn5、分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。6、合并求和法：如求22222212979899100的和。7、倒序相加法：如求2222sin1sin2sin3sin89的和。8、其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等等（二）主要方法：1、求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；2、求和过程中注意分类讨论思想的运用；3、转化思想的运用；（三）例题分析：例1．求和：①个nnS111111111②22222)1()1()1(nnnxxxxxxS③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n项和nS思路分析：通过分组，直接用公式求和。解：①)110(9110101011112kkkka个])101010[(91)]110()110()110[(9122nSnnn