幂零矩阵的性质及应用

编号：08005110138xxxx学院2012届毕业生毕业论文（设计）题目：幂零矩阵的性质及应用完成人：xxx班级：2008-01学制：4年专业：数学与应用数学指导教师：xxxx完成日期：2012-03-31目录摘要.........................................................................................................(1)0引言.....................................................................................................(1)1预备知识.............................................................................................(1)1.1幂零矩阵的相关概念..........................................................................(1)1.2幂零矩阵的基本性质……………..……....................................................(1)2主要结论…………………………..…………………...........................................(4)3应用....................................................................................................(6)3.1幂零矩阵在矩阵运算中的应用……..………..………..………..….................(6)3.2幂零矩阵与高等代数中其他知识相结合的应用……..………..……...........(8)3.2.1幂零矩阵与线性方程组相结合应用.............................................(9)3.2.2幂零矩阵的若尔当标准形的应用...............................................(10)3.2.3幂零矩阵与幂零线性变换相结合的应用.....................................(11)参考文献………..………..………..………..………..….....................(13)Abstract………..………..………..………..………..........…...............(14)第1页（共14页）幂零矩阵的性质及应用作者：xxxxx指导老师：xxx摘要：本文从幂零矩阵的定义出发,总结了幂零矩阵的基本性质及一些主要结论,而且对其应用作进一步的讨论:用幂零矩阵性质求一些特殊矩阵的逆及在历年考研真题中对幂零矩阵的考查.关键词：幂零矩阵;幂零指数;若尔当形;特征根0引言在高等代数中,矩阵是研究问题的很重要的工具,在讨论矩阵的乘法运算时给出了幂零矩阵的定义,但对其性质研究很少.幂零矩阵作为特殊矩阵无论在矩阵的理论方面,还是在实际应用方面都有很重要的意义,而且在一些交叉学科如密码学中,都有广泛的应用.目前,国内很多学者对幂零矩阵的性质已有较深入的研究,本文在他们研究的基础上,进一步探讨幂零矩阵的性质.1预备知识为了叙述的需要,我们首先引入幂零矩阵的有关概念.1.1幂零矩阵的有关概念定义1设A是n阶矩阵,若存在一个自然数k,使0kA,则A为幂零矩阵.定义2设A是幂零矩阵,满足0kA的最小自然数k称为A的幂零指数.1.2幂零矩阵的基本性质在给出了幂零矩阵的相关概念之后,我们容易得到幂零矩阵的一些基本性质.性质1若A是幂零矩阵,则*,,,TmAAAA都是幂零矩阵.第2页（共14页）性质2A为幂零矩阵的充要条件是A的特征值全为0.在此基础上,我们还可以得到幂零矩阵的另一个充要条件.推论1A为幂零矩阵的充要条件是kZ,0ktrA.证明必要性因为A为幂零矩阵,所以A的特征值全为0,即120n,所以kA的特征值为120nkkk.从而有120nkkkktrA.充分性由已知,对kZ,120nkkkktrA.①令12,,,t为A的不为零的特征值,且i互不相同,重数为in（1,2,,it）.由①式,得方程组11212121122222233312120000tttttttttttnnnnnnnnnnnn②由于方程组②的系数行列式为121212122221212111ttttttttttttB121tijjit又1,2,,iit互不相同且不为0,所以0B,从而知方程②只有0解,即0in(1,2,,it）.因此A的特征值全为0,即A为幂零矩阵.推论2若A为幂零矩阵,则A一定不可逆且有1,1AEEA.证明由于A为幂零矩阵,所以存在kZ,使得0kA,因此有00kkAAA,所以A一定不可逆.第3页（共14页）由性质2,得A的特征值120n,所以AE,EA的特征值分别是12'''011n,12101n,且有12'''11nnAE,1211nnEA.即1,1AEEA.推论3若AE为幂零矩阵,则A非退化.证明令12,,,n为A的特征值.若A退化,则有120nA,所以至少存在00i为A的特征值,从而有0110i为AE的一特征值,这与AE为幂零矩阵相矛盾,得证A为非退化.对于幂零指数相同的幂零矩阵,有一些比较重要的性质.性质3所有的n阶1n次幂零矩阵都相似.证明令A为n阶1n次幂零矩阵,即10nA,001kknA,因此A的最小多项式1()()nAnmd；又A是幂零矩阵,所以A的特征值全为0,因此A的特征多项式为()nnfEAD,又11()()()nnnnDdD,所以1()nD；又第4页（共14页）12()()()()()nnnfEAdddD,从而有1()nd,221()()()1nddd,所以所有n阶1n次幂零矩阵具有相同的不变因子为1,,,,,111n.所以所有n阶1n次幂零矩阵都相似.利用此法也可以得到：推论4所有n阶n次幂零矩阵都相似.注但是当幂零矩阵的幂零指数2kn,相同幂零指数的幂零矩阵却不相似.性质4设A为非零幂零矩阵,且k是A的幂零指数,则E,A,2A,,1kA线性无关.证明利用反证法.假设12,,,,kAEAA线性相关,则一定存在一组不全为0的0c,1c,,1kc,使2101210kkEAccccAA,①两端右乘1kA,得100kcA,而10kA,因此00c.再对①式两端右乘2kA,可得10c.同理可得2310kccc.所以0110kccc,得出矛盾,所以假设错误.即证得21,,,,kEAAA线性无关.2主要结论我们在幂零矩阵的定义以及基本性质的基础上,进一步探讨幂零矩阵,得到一些重要结论,而且这些结论应用的也比较广泛.结论1设A为幂零矩阵,且k是A的幂零指数,则（1）EA可逆,且121kEAEAAA.（2）11212311111kkkmEAEAAAmmmm.(0)m第5页（共14页）证明（1）由于A为幂零矩阵,所以0kA,从而kkkEEAEA21()kEAEAAA,即121kEAEAAA.（2）对任意0m,121231111()()(1)kkkmEAEAAAmmmm121211111(1)kkkEAAAAmmmm212121111(1)(1)kkkkkkAAAmmmE所以1121231111()kkkEAmEAAAmmmm.结论2若A为幂零矩阵,则A的若尔当标准形J的若尔当块为幂零若尔当块,且J的主对角线上的元素为0.证明A为幂零矩阵,由性质2知,A的特征值全为0；又在复数域上,存在可逆矩阵T,使得121SJJJTATJ其中11iiiiiJnn1,2,,it,第6页（共14页）则(1,2,,)iit为J的特征值；又A与J相似,所以A与J有相同的特征值,所以0i(1,2,,)it,即J的主对角线上的元素全为0;所以有01010iJ,则iJ为幂零矩阵,其幂零指数为in(1,2,,)it,所以12,,,SJJJ为幂零矩阵.所以A的若尔当标准形J的若尔当块12,,,SJJJ为幂零若尔当块,且J的主对角线上的元素为0.由此结论可以得到：推论5n阶幂零矩阵的幂零指数小于等于n，且幂零指数等于其若尔当形矩阵中阶数最高的若尔当块的阶数.3应用3.1幂零矩阵在矩阵运算中的应用——求一些特殊矩阵的逆在矩阵的运算中,求矩阵的逆一般是比较麻烦的,对于一些特殊的矩阵可以利用幂零矩阵的性质来化简.引理1任一n阶方阵A都可写成的ADN形式,其中D是一个与对角阵相似的n阶方阵,N是一个幂零矩阵,而且DNND.证明因为在复数域上,存在可逆矩阵T,使得121SJJATTJ①其中11iiiiiJnn1,2,,it第7页（共14页）于是00101iiiiiiJND(1,2,,)it.②其中iiiD为对角阵,00101iN为幂零矩阵.因为niON,将②式带入①式得111ssNDATTND1111ssNDTTTTNDDN③其中11sDDTTD相似于对角阵,且1111nnnssNNTTONNTTNN,即N为幂零矩阵,于是111ssNDDNTTND,④类似的,有第8页（共14页）111ssNDNDTTND.⑤但()iiiiiiENNND,()iiiiiiENNND.所以iiiiNNDD,(1,2,,)is⑥由④⑤⑥,即证DNND.由引理1,对于一些可表示为幂零矩阵与单位矩阵的和的矩阵,则可利用结论1来求它的逆;而主对角元素完全相同的三角矩阵可表示为数量矩阵与幂零矩阵的和,也可以借助结论1可求出它的逆;对于一些可表示为单位矩阵与若尔当矩阵幂的和的矩阵,借助结论1也可求出它的逆.下面通过例子来说明.例1设11111011110011100001A,求1A.解记nJ为n阶若尔当矩阵,则0nnJ,而21nnnnAEJJJ,由结论1有1121()nnnnnEEJAJJJ11000011000001100001.3.2幂零矩阵与高等代数中其他知识相结合的应用在历年研究生入学考试中,对幂零矩阵的考查综合性较强,能力要求较高,是个难点.下面列举几道典型的对幂零矩阵的考查方法,以说