第3章 工业机器人静力学及动力学分析

第3章工业机器人静力学及动力学分析•3.1引言•在运动学分析时未涉及到力、速度、加速度。•要对工业机器人进行合理的设计与性能分析，在使用中实现动态性能良好的实时控制，就需要对工业机器人的动力学进行分析。•本章将介绍工业机器人在实际作业中遇到的静力学和动力学问题，为以后“工业机器人控制”等章的学习打下一个基础。•后面所说的力或力矩都是“广义的”。•工业机器人作业时，外界对手部的作用力将导致各关节产生相应的作用力。假定工业机器人各关节“锁住”，关节的“锁定用”力与外界环境施加给手部的作用力取得静力学平衡。•工业机器人静力学就是分析手部上的作用力与各关节“锁定用”力之间的平衡关系，从而根据外界环境在手部上的作用力求出各关节的“锁定用”力，或者根据已知的关节驱动力求解出手部的输出力。工业机器人静力学的任务工业机器人动力学的任务•工业机器人动力学问题有两类：•(1)动力学正问题：已知关节的驱动力，求工业机器人系统相应的运动参数，包括关节位移、速度和加速度。•(2)动力学逆问题：已知运动轨迹点上的关节位移、速度和加速度，求出相应的关节力矩。研究工业机器人动力学的目的•动力学正问题对工业机器人运动仿真是非常有用的。•动力学逆问题对实现工业机器人实时控制是相当有用的。•利用动力学模型，实现最优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标。工业机器人动力学模型的用途•主要用于工业机器人的设计和离线编程。•在设计中需根据连杆质量、运动学和动力学参数，传动机构特征和负载大小进行动态仿真，对其性能进行分析，从而决定工业机器人的结构参数和传动方案，验算设计方案的合理性和可行性。•在离线编程时，为了估计工业机器人高速运动引起的动载荷和路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型的仿真。动力学问题的困难•工业机器人是一个非线性的复杂的动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间。因此，简化求解过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线计算的时间是一个受到关注的研究课题。•在这一章里，我们将首先讨论与工业机器人速度和静力学有关的雅可比矩阵，然后介绍工业机器人的静力学问题和动力学问题。3.2工业机器人速度雅可比与速度分析•3.2.1工业机器人速度雅可比•数学上雅可比矩阵(Jacobianmatrix)是一个多元函数的偏导矩阵。•假设有六个函数，每个函数有六个变量，即：可写成：Y＝F(X)将其微分，得：),,,,,(),,,,,(),,,,,(654321666543212265432111xxxxxxfyxxxxxxfyxxxxxxfy(3-1)也可简写成：666226116666222211226612211111ddddddddddddxxfxxfxxfyxxfxxfxxfyxxfxxfxxfy(3-2)XXFYdd(3-3)•式(3-3)中的(6×6)矩阵XF叫做雅可比矩阵。•在工业机器人速度分析和以后的静力学分析中都将遇到类似的矩阵，我们称之为工业机器人雅可比矩阵，或简称雅可比。一般用符号J表示。•图3-1为二自由度平面关节型工业机器人（2R工业机器人），其端点位置x，y与关节变量1、2的关系为：X0Y0O0l1l221(x，y)T端点图3-1二自由度平面关节工业机器人将其微分，得：)in(sin)cos(cos2121121211sllyllx(3-4)即：),(),(2121yyxx(3-5)22112211ddddddyyyxxx将其写成矩阵形式为：令：(3-6)212121ddddyyxxyx2121yyxxJ(3-7)式(3-6)可简写为：dX＝Jd(3-8)式中：21dddddd；yxX•我们将J称为图3-1所示二自由度平面关节型工业机器人的速度雅可比，它反映了关节空间微小运动d与手部作业空间微小位移dX之间的关系。•注意：dX此时表示微小线位移。•若对式(3-7)进行运算，则2R工业机器人的雅可比写为：)cos()cos(cos)sin()sin(sin2122121121221211llllllJ(3-9)•从J中元素的组成可见，J阵的值是1及2的函数。•广义关节变量q＝[q1q2…qn]T转动关节：qi＝i，移动关节：qi＝di•dq＝[dq1dq2…dqn]T反映了关节空间的微小运动。•手部在操作空间的运动参数用X表示，它是关节变量的函数，即X＝X(q)，并且是一个6维列矢量。dX＝[dxdydzxyz]T•dX反映了操作空间的微小运动，它由工业机器人手部微小线位移和微小角位移(微小转动)组成。•参照(3-8)式可写出类似的方程式，即：dX＝J(q)dq(3-10)•式中J(q)是6×n的偏导数矩阵，称为n自由度工业机器人速度雅可比矩阵。它反映了关节空间微小运动dq与手部作业空间微小运动dX之间的关系。它的第i行第j列元素为：jiijqqxqJ)()((3-11)i＝1，2，…，6；j＝1，2，…，n3.2.2工业机器人速度分析•对式(3-10)左、右两边各除以dt，得：ttdd)(ddqqJX(3-12)•即：qqJV)((3-13)•式(3-13)中：•V——工业机器人手部在操作空间中的广义速度，V=；•——工业机器人关节在关节空间中的关节速度；•J(q)——确定关节空间速度与操作空间速度V之间关系的雅可比矩阵。Xqq•图3-1所示二自由度平面关节型工业机器人手部的速度为：•假如1及2是时间的函数，1=f1(t)，2=f2(t)，则可由此式求出手部的瞬时速度V＝f(t)。22121212112212121211212122121121221211)cos()c(cos)sin()sin(sin)cos()c(cos)sin()sin(sinllllllllllllvvyxV•对于图3-1所示2R工业机器人，若令J1、J2分别为式(3-9)所示雅可比的第一列矢量和第二列矢量，则式(3-13)可写成：•式中右边第一项表示仅由第一个关节运动引起的端点速度；右边第二项表示仅由第二个关节运动引起的端点速度；总的端点速度为这两个速度矢量的合成。•工业机器人速度雅可比的每一列表示其它关节不动而某一关节运动产生的端点速度。2211JJV•反之，假如给定工业机器人手部速度，可由式(3-13)解出相应的关节速度，即：(3-14)VJq1•式中：J-1称为工业机器人逆速度雅可比。•式(3-14)是一个很重要的关系式。例如，d当希望工业机器人手部在空间按规定的速度进行作业，那么用式(3-14)可以计算出沿路径上每一瞬时相应的关节速度。•一般来说，求J-1是比较困难的，有时还会出现奇异解，就无法解算关节速度。•通常J-1出现奇异解的情况有下面两种：•1)工作域边界上奇异。当臂全部伸展开或全部折回而使手部处于工作域的边界上或边界附近时，出现J-1奇异，这时工业机器人相应的形位叫做奇异形位。•2)工作域内部奇异。奇异也可以是由两个或更多个关节轴线重合所引起的。•当工业机器人处在奇异形位时，就会产生退化现象，丧失一个或更多自由度。这意味着在空间某个方向(或子域)上，不管工业机器人关节速度怎样选择手部也不可能实现移动。[例3-1]•如图3-2所示二自由度平面关节型机械手。手部某瞬时沿固定坐标系X0轴正向以1.0m/s速度移动，杆长为l1＝l2＝0.5m。假设该瞬时1＝30，1＝-60。求相应瞬时的关节速度。1X0Y0O0l1l2图3-2二自由度机械手手爪沿X0方向运动2V2X2Y2O2[例3-1]解•由式(3-9)知，二自由度机械手的速度雅可比为：)cos()cos(cos)sin()sin(sin2122121121221211llllllJ因此，逆速度雅可比为：122121122111221222211ssccscs1llllllllJ(3-15)[例3-1]解（续）•已知端点速度为：因此，由式(3-14)可得：01yxvvV01ssccscs11221112211122122221121llllllllVJ•因此可得：[例3-1]解（续）rad/s)(2235.023)(-60sin5.0)60-03(cossin)(cos21211lrad/s4)(-60sin5.0)60-03(cos)(-60sin5.003cossin)(cossincos21212212ll[例3-1]奇异讨论•从式(3-15)知，当l1l2s2＝0时无解。因为l10，l20，所以，在2＝0或2＝180时，二自由度工业机器人逆速度雅可比J-1奇异。这时，该工业机器人二臂完全伸直，或完全折回，即两杆重合，工业机器人处于奇异形位。在这种奇异形位下，手部正好处在工作域的边界上，该瞬时手部只能沿着一个方向(即与臂垂直的方向)运动，不能沿其它方向运动，退化了一个自由度。六自由度机器人速度雅可比J•在三维空间中作业的六自由度工业机器人，其速度雅可比J是一个6×6矩阵，和V分别是6×1列阵，即：V(61)＝J(q)(66)(61)•手部速度矢量V是由3×1线速度矢量和3×1角速度矢量组合而成的6维列矢量。•关节速度矢量是由6个关节速度组合而成的6维列矢量。•雅可比矩阵J的前三行代表手部线速度与关节速度的传递比；后三行代表手部角速度与关节速度的传递比。而雅可比矩阵J的第i列则代表第i个关节速度对手部线速度和角速度的传递比。qq3.3工业机器人力雅可比与静力学分析•工业机器人在作业过程中，当手部（或末端操作器）与环境接触时，会引起各个关节产生相应的作用力。•工业机器人各关节的驱动装置提供关节力矩，通过连杆传递到手部，克服外界作用力。•本节讨论操作臂在静止状态下力的平衡关系。•我们假定各关节“锁住”，工业机器人成为一个结构体。关节的“锁定用”力与手部所支持的载荷或受到外界环境作用的力取得静力学平衡。求解这种“锁定用”的关节力矩，或求解在已知驱动力作用下手部的输出力就是对工业机器人操作臂进行静力学分析。3.3.1操作臂中的静力学•这里以操作臂中单个杆件为例分析受力情况。•如图3-3所示，杆件i通过关节i和i+1分别与杆件i-1和杆件i+1相连接，两个坐标系{i-1}和{i}分别如图所示。关节iO0Y0X0Z0i驱动器imig杆i-1Oi-1ni-1，iZi-1fi-1，i杆i杆i+1ri+ciri-1，i关节i+1-ni，i+1-fi，i+1ZiOiCi图3-3杆i上的力和力矩图3-3中力和力矩fi-1，i及ni-1，i——i-1杆通过关节i作用在i杆上的力和力矩；fi，i+1及ni，i+1——i杆通过关节i+1作用在i+1杆上的力和力矩；-fi，i+1及-ni，i+1——i+1杆通过关节i+1作用在i杆上的反作用力和反作用力矩；fn，n+1及nn，n+1——工业机器人最末杆对外界环境的作用力和力矩；-fn，n+1及-nn，n+1——外界环境对工业机器人最末杆的作用力和力矩；f0，1及n0，1——工业机器人底座对杆1的作用力和力矩；mig——连