二元函数的极值问题

二元函数的极值问题I摘要本文主要讨论了二元函数的极值问题，不仅介绍了二元函数极值方面的有关概念和定理，还给出了这些定理的证明，并举出了二元函数极值方面的几个理论问题，特别地对极值判别式进行了推广和求解条件极值的拉格朗日乘数法进行了一般化改进.本文以高教版数学分析教材为出发点，在讨论的过程中重温了书本上的定理，更对书中的定理进行升华，使定理能够更好解决实际问题，进而运用的更加广泛.关键词:二元函数；极大值；极小值二元函数的极值问题IIAbstractTheextremumoffunctionoftwovariablesisexpoundedinthisthesis.Notonlyaresomerelevantideasanddefinitionsarepresentedinthisthesis,butalsotherelativeprooftothem.Furthermore,itexhibitsseveraltheoreticalproblemsoftheextremumoffunctionoftwovariablesaswell.Particularly,itexpandsthediscriminantoftheextremumandgenerallyimprovesLagrangianMultiplierthatistofindaminimumoramaximumofafunction.Ononehand,basedontheteachingmaterialofAdvancedMathematics,thethesisreviewsthedefinitionsinthetextbookthroughouttheprocedureofspecification.Ontheotherhand,itsublimatesthesedefinitionssothatwecansolvethepracticalissuesbetterandusethemmorewidely.Keywords：functionoftwovariables；maximunvalue;minimumvalue二元函数的极值问题III目录摘要........................................................................IAbstract...................................................................II目录......................................................................III1引言.......................................................................12二元函数极值问题的相关概念.................................................12.1二元函数定义.........................................................12.2二元函数及其极大极小值的定义.........................................23二元函数的极值问题.........................................................23.1二元函数极值存在的必要条件...........................................23.2二元函数极值存在的充分条件...........................................33.3求二元函数极值的步骤.................................................54特殊情况下二元函数极值.....................................................65条件极值问题...............................................................85.1代入法...............................................................95.2拉格朗日(Lagrange)乘数法.............................................96总结......................................................................13参考文献...................................................................14二元函数的极值问题11引言函数极值问题是一个非常普通的数学问题，是经典微积分学最成功的应用，不仅在实际问题中占有重要地位，而且也是函数性态的一个重要特征.在一元函数中，可以利用函数的导数求得函数的极值，从而进一步解决一些有关最大，最小值应用问题.同样利用偏导数，也可以解决二元函数的极值问题.2二元函数极值问题的相关概念2.1二元函数定义定义1设平面点集D包含于2R,若按照某对应法则f,D中每一点),(yxP都有唯一确定的实数z与之对应,则称f为在D上的二元函数.记作,D:Rf（1）且称D为f的定义域；P对应的z为f在点P的函数值,记作),(yxfz或)(Pfz；全体函数值的集合称为f的值域,记作Rf(D).通常还把P的坐标x与y称为自变量，而把z称为因变量.当把Dyx),(和它所有的函数值),(yxfz一起组成三维数据组zyx,,时，三维欧氏空间3R中的点集3)y,(),,(|),,(RDxyxfzzyxS便是二元函数f的图像.通常),(yxfz的图象是一空间曲面，f的定义域D便是该曲面在xOy平面上的投影.为了方便起见，我们把(1)式所确定的二元函数也记作),(yxfz,Dyx),(,或)(Pfz，DP,且当它的定义域D不会被误解的情况下，也简单的说“函数),(yxfz”或“函数f”.二元函数的极值问题22.2二元函数及其极大极小值的定义定义2设函数f在点),(000yxP的某领域)(0PU内有定义，若对于任何点)(),(0PUyxP,成立不等式)()(0PfPf(或)()(0PfPf)，则称函数f是在点0P取得极小值（或极大值），点0P称为f的极小（极大）值点.极大值、极小值统称极值，极大值点、极小值点统称极值点.注意：这里所讨论的极值点只限于定义域的内点.例如，设2223),(yxyxf，221),(yxyxg，xyyxh2),(.由定义直接知道，坐标原点)0,0(是f的极小值点，是g的极大值点，但不是h的极值点.这是因为对于任何点),(yx,恒有0)0,0(),(fyxf；对任意1yx|x,yx,y22)()(，恒有1)0,0(),(gyxg;而对于函数h，在原点的任意小邻域内，既含有使0),(yxh的第一、三象限中的点，又含有使0),(yxh的第二、四象限中的点，所以0)0,0(h既不是极大值又不是极小值.由定义可见，若f在点),(00yx取得极值，刚当固定0yy时，一元函数),(0yxf必定在0xx取得相同的极值.同理，一元函数),(0yxf必定在0yy也取得相同的极值.那么一般情况下如何求二元函数的极值呢？仿照一元函数的极值的讨论，我们得到二元函数极值存在的必要条件如下.3二元函数的极值问题3.1二元函数极值存在的必要条件定理1若函数f在点),(000yxP处存在偏导数，且函数在该点取得极值，则有0),(),(0000yxfyxfyx.证明因为点),(00yx是函数),(yxf的极值点，若固定),(yxf中的变量0yy，则),(0yxfz是一个一元函数且在0xx处取得极值，由一元函数极值的必要条件知0),(00yxfx，同理有0),(00yxfy.二元函数的极值问题3反之，凡是满足方程组0),(0),(yxfyxfyx的点),(00yx称为函数),(yxfz的驻点．定理说明，只要函数),(yxfz的两个偏导数存在，那么它的极值点一定是驻点，反过来，驻点是不是一定为极值点呢？例如，函数22yxz，在点0,0处的两个偏导数为0，即0,0是驻点，但在0,0的任一邻域内函数既有正值也有负值，所以0,0不是极值点，即驻点不一定是极值点.另外，极值点也可能是偏导数不存在的点.比如，上半锥面22yxz在点0,0的偏导数不存在，但0,0是函数的极小值点，函数极小值为0.3.2二元函数极值存在的充分条件判断二元函数),(yxf在),(000yxP取得极值的充分条件，我们假定函数f有二阶连续偏导数，并记()0fpH=)()(00PfPfyxxx)()(00xyPfPfyy=yxxxff0xyPyyff,称它为f在),(000yxP的黑塞矩阵.定义3若函数f在点),(000yxP的某邻域)(0PU具有直到1n阶的连续偏导数，则对)(0PU内任一点),(00kyhx，存在相应的)1,0(，使得).,()()!1(1),()(!1),()(!21),()(),(),(00100002000000kyhxfykxhnyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfkyhxfnn(2)式称为二元函数f在点0P的泰勒公式，其中imiimimmiimmkhyxfyxCyxfykxh),(),()(00000.定理2（极值充分条件）设二元函数f在点),(000yxP的某邻域)(0PU具有二阶连续偏（2）二元函数的极值问题4导数，且0P为f的稳定点，则当)(0PHf为正定矩阵时，此函数f在0P有极小值；当)(0PHf为负定矩阵时，在0P有极大值；当)(0PHf为不定矩阵时，在0P不取极值.证明由f在0P的二阶泰勒公式，并注意到条件0)()(00PfPfyx，有)(),)((),(21),(),(22000yxyxPHyxyxfyxfTf.由于)(0PHf正定，所以对任何)0,0(),(yx恒使二次型0),)((),(),(0TfyxPHyxyxQ.因此存在一个与yx,无关的正数q，使得)(2),(22yxqyxQ.则对于充分小的0()UP只要),(yx0()UP，就有0))1()(,()(),(),(),(22222200qyxyxyxqyxfyxf，即f在),(000yxP取极小值.同理可证)(0PHf为负定矩阵时，f在),(000yxP取极大值.最后，当)(0PHf不定时，f在0P不取极值.假设f取极值（因为不失一般性，所以我们不妨设为取极大值），对任何过0P的直线xtxx0，ytyy0，)(),(),(00tytyxtxfyxf在0t=也取极大值.由一元函数取极值的充分条件，0)0(是不可能的（否则在0t=将取极小值），故0)0(.而又有yxyfxft)(，22)(2)()(yfyfxxftyyxyxx，TfyxPHyx),)((),()0(0，这表明)(0PHf为负半定的.同理，f倘若取极小值，则将导致)(0PHf为正半定.也就是说，当f在0P取极值时，)(0PHf必须是正半定或负半定，但这与)(0PHf不定相矛盾.证毕.若函数f如定理2所设，设0P是f的稳定点，则我们可以将