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李禄昌第十章动量定理动量定理、动量矩定理和动能定理统称为动力学普遍定理。注意动量、动量矩、动能与力系的主矢、主矩和做功之间的关系。注意刚体上的一个重要的点：质心。重点：动量定理和质心运动定理。李禄昌§10--1动量与冲量1、动量的概念：物体之间的相互作用效应跟质量与速度的乘积有关。飞针穿透玻璃；高速路上的飞石；飞鸟撞击飞机；子弹击中目标。⑴、质点的动量：质点的质量与速度的乘积称为质点的动量(mv)。动量是矢量，它的方向与质点速度的方向一致。单位:kgm/s⑵、质点系的动量：质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量。⑵、质点系的动量：李禄昌vC=0李禄昌2．冲量的概念：物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小和方向有关，还与力作用时间的长短有关。冲量：作用力与作用时间的乘积。常力的冲量：I=Ft冲量是矢量，冲量的单位是N.S。变力的元冲量：dI=Fdt在作用时间t内的冲量:I=⎰t0Fdt李禄昌§10-2动量定理1、质点的动量定理：由牛顿第二定律：d(mv)dt=F得：d(mv)=Fdt：质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。在t1~t2内，速度由v1~v2，有mv2-mvt21=⎰tFdt=I15李禄昌mv2-mv1=⎰Fdt=It1t2：在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量。2、质点系的动量定理：(i)内力性质：（1）∑Fi外力：Fi，内力：Fi(e)(i)(i)=0（2）∑MO(Fi)=0(i)（3）∑Fdt=0dp=∑d(mivi)=∑Fidt=∑dIi(e)(e)李禄昌得dp=∑Fidt=∑dIi(e)(e)：质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和；或质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和（主矢）。注意：动量问题没有考虑合力作用点的不同。只与力系的主矢有关。质点系的动量是自由矢量。李禄昌由dp=∑Fidt=∑dIip2-p1=∑Iii=1n(e)(e)(e)p2，则有t2内，动量由p1~如果在t1~：在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和。李禄昌动量定理是矢量式，在应用时应取投影形式。动量定理微分形动量定理积分式的投影式：形式的投影式：dpx(dt=∑Fe)xp2x-p(e)1x=∑Ixdpy∑F(e)p(e)dt=y2y-p1y=∑Iydp(edt=∑F)zp2z-p1z=∑I(e)z李禄昌例10－1已知：均质圆盘在OA杆上纯滚动，m＝20kg，R＝100mm，OA杆的角速度为ω1=1rad/s，圆盘相对于OA杆转动的角速度为ω2=4rad/s，OB=3mm。求：此时圆盘的动量。ω2李禄昌解：动点：圆盘质心C点，动系：OA杆，利用点的速度合成定理，分析C点的绝对速度。ve=ω1⋅OC=200mm/svr=ω2R=400mm/sva=vc==346.4mm/sp=mvCvvCp=6.93N⋅sp=6.93kg⋅m/svr李禄昌或：圆盘质心为C点，利用基点法，分析C点的绝对速度。vB=ω1⋅OB=这是一个“刚体绕平行轴转动的合成”问题，此处不能直ω2。接利用圆盘相对OA杆转动的角速度vCB=(ω2-ω1)⋅R=300mm/svc=ωa=ωe+ωrω2=vp=mvCCp=6.93kg⋅m/sB12李禄昌例10-2电动机外壳固定在水平基础上，定子和外壳的质量为m1，转子质量为m2。定子和机壳质心O1，转子质心O2，O1O2=e，角速度ω为常量。求基础的水平及铅直约束力。李禄昌解：对电动机受力分析。p=m2ωe⎧px=m2ωecosωt⎨p=mωesinωty2⎩由得dpx=Fxdtdpydt=Fy-m1g-m2g2FxFy=(m1+m2)g+m2eωcosωt李禄昌电机不转时的约束力，称静约束力；电机转动时的约束力，称动约束力，动约束力-静约束力=附加动约束力。本题的附加动约束力为：xy方向：-m2eω方向：2sinωtm2eωcosωt2转动的零件的静平衡实验、动平衡实验问题。如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，质点系的动量保持不变，即p2-p1=∑Iii=1n(e)P=P=恒矢量0如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零，则质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变。Px=P=恒量0x李禄昌例10-3物块A可沿光滑水平面自由滑动，其质量为mA；小球B的质量为mB，以细杆与物块铰接，设杆长为l，质量不计，初始时系统静止,并有初始摆角φ0，释放后，细杆近似以φ=φ0cosωt规律摆动（ω为已知常数）,求物块A的最大速度。017李禄昌解：取物块和小球为研究对象，小球的相对速度为：vr=lϕ=lωϕ0sinωt其值为:vr=lϕ=lωϕ0物块向右的绝对速度为v,则小球向左的绝对速度值为：0va=vr-v此系统水平方向不受外力作用，则沿水平方向动量守衡。18mA+mBmA+mB能否用以下公式？mAv-mBvr=0(mA+mB)v-mBvr=019李禄昌作业：10—6、7作业：10—10、11李禄昌10-31、质心计算公式：质心运动定理∑mrrC=,mm=∑mi∑mixixC=m∑myyC=m∑mzzC=m问题：内力是否影响质心的运动？李禄昌例10-4已知：为常量，均质杆OA=AB=,l两杆质量皆为m，滑块B质量m。求:12质心运动方程、轨迹及系统动量。李禄昌解：1、设ϕ=ωt，质心运动方程为l3lm1+m1+2m2l2xC=2cosωt2m1+m22(m1+m2)=lcosωt2m1+m2l2m1m12yC=sinωt=lsinωt2m1+m22m1+m22、消去t得质心轨迹方程xcyc22[]+[]=12(m1+m2)l/(2m1+m2)m1l/(2m1+m2)23李禄昌2(m1+m2)xC=lcosωt2m1+m2myC=lsinωt2m1+m23、系统动量沿x，y轴的投影为：px=mvCx=mxC=-2(m1+m2)lωsinωtpy=mvCy=myC=m1lωcosωt系统动量的大小为：p==lω24ndpd(e)=(mvC)=∑Fii=1dtdtnC(e)m=∑Fii=1dtmaC=∑Fii=1n(e)乘积等于作用于质点系外力的矢量和。相当于将质点系看作质点,用质心代替,外力看作是作用于质心的汇交力系。内力不影响质心的运动，只有外力才能改变质心的运动。李禄昌在直角坐标轴上的投影式为：maCx=∑F(e)xmaCy=∑F(e)ymaCz=∑F(e)z在自然轴上的投影式为：3、质心运动守恒定理：若∑F(e)≡0则vC=常矢量若∑F(e)x≡0则vCx=常矢量质心作匀速直线运动或静止。李禄昌例10-5均质曲柄AB长为r,质量为m1,以不变的角速度ω转动，并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D。滑槽、连杆、活塞总质量为m2。在活塞上作用一恒力F。不计摩擦及滑块B的质量。求：作用在曲柄轴A处的最大水平约束力Fx。李禄昌解：1、计算整个机构的质心C的坐标及其加速度：1⎡r⎤xC=⎢m1cosϕ+m2(rcosϕ+b)⎥⋅⎣2⎦m1+m222dxC-rω⎛m1⎫aCx=2=+m2⎪cosωtdtm1+m2⎝2⎭3、应用质心运动定理：(m1+m2)aCx=Fx-F⎛m⎫Fx=F-rω+m2⎪cosωt⎝2⎭2c1c2得：Fmax⎛m⎫=F+rω+m2⎪⎝2⎭2李禄昌例10-6地面水平，光滑，已知初始静止，ω=m2，em1，，常量。电动机没有螺栓固定。求：电机外壳的运动S？李禄昌解：1、建立坐标轴，静止时转子的质心o2在最低点。系统的质心坐标为：xC1=a2、当转子转过角度φ时，设定子移动距离为s，则系统的质心坐标为：m1(a-s)+m2(a-s+esinϕ)xC2=m1+m23、在水平方向质心运动守恒：xC1=xC2m2s=esinϕm1+m230例10-7、椭圆规尺AB杆的质量为2m1,曲柄OC的质量为m1,而滑块A和B的质量均为m2；已知OC=AC=CB=l,曲柄和尺的质心分别在其中点上，曲柄绕O轴转动的角速度ω为常量。求图示瞬时系统的动量。李禄昌31PAB+PA+PB=(2m1+m2+m2)lω=2(m1+m2)lω得：P=(2.5m1+2m2)lω李禄昌例10-8.在图示系统中，均质杆OA、AB与均质轮的质量均为m，OA杆的长度为l1，AB杆的长度为l2，轮的半径为R，轮沿水平面作纯滚动。在图示瞬时，OA杆的角速度为ω，求整个系统的动量。34李禄昌解：系统由三个物体组成.P=POA+PAB+PBOA杆作定轴转动C为质心.1vC=l1ω2轮作平面运动B为质心.AB杆作瞬时平动.vA=vB=l1ωPB=ml1ω351POA=ml1ω2PAB=ml1ω李禄昌解:(1)取小车、沙箱和重物组成的系统为研究对象F(e)x=0Px=Px0设重物落入后小车的速度为v，则：解得:v=3km/h12v0=3.5km/hP2x-(e)P1x=Ix(2)取小车为研究对象。1237解得：F=0.14kN李禄昌作业：10—10、11李禄昌李禄昌例10-10：均质杆AD和BD长为l，质量分别为6m和4m,铰接如图。开始时维持在铅垂面内静止。设地面光滑，两杆被释放后将分开倒向地面。求D点落地时偏移多少。40李禄昌解：取AD和BD组成的系统为研究对象.12D点落地时C点应与O点重合。1(C)2画系统完全落地时的位置图.4mlC1C==0.4l6m+4mxD=0.5l-0.4l∆x=xD-xD0=0.1李禄昌例10-11：质量均为m的小球A和B置于光滑水平面上，用长为l的细绳相连。开始时给球B一初速度v，如图所示。求AB连线再次处于与初始位置平行时，AB连线平移的距离。Bv44李禄昌解：取小球A和B组成的系统为研究对象.由于R=0则P=c即质心(e)的速度为恒矢量.Bv(m+m)vc=mv系统作平面运动.vc=0.5v即系统的质心作匀速直线运动.vB=vC+vBCvA=vC+vACvBC=0.5vvAC=-0.5v李禄昌计算系统的角速度.lω=0.5vvBC=0.5ω=v/lBvT=2π/ω=2πl/v当AB连线再次处于与初始位置平行时,质心运动时间为半个周期s=vCt=0.5v(πl/v)=0.5πl李禄昌？？例10-12：图示质量为m半径为R的均质半圆形板,受力偶M作用,在铅垂面内绕O轴转动,转动的角速度为ω,角加速度为ε.C点为半圆板的质心,当OC与水平线成任意角ϕ时,求此瞬时轴O的约束反力.(OC=4R/3π)李禄昌解：取半圆板为研究对象.acn4R2=ω-cosϕ+sinϕ3π()4Racτ=-εisinϕ+jcosϕ3π)acxacy4R2=-ωcosϕ+εsinϕ3π()4R2=ωsinϕ-εcosϕ3π()李禄昌画受力图。应用质心运动定理XO=maCxYO-mg=maCy4mR2XO=-ωcosϕ+εsinϕ3π(4mR2YO=mg+ωsinϕ-εcosϕ3π()