经典十字相乘法分解因式整理

因式分解的一点补充——十字相乘法一、学习目标1．使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解；2．进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性。二、学习重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式因式分解。三、学习难点：灵活运用十字相乘法因分解式。四、自主学习：（一）导入新课关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q).课前练习：下列各式因式分解1．-x2+2x+152．（x+y）2-8（x+y）+123．x4-7x2+184．x2-5xy+6y2对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。（二）、探究：例1把2x2-7x+3因式分解。分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。分解二次项系数（只取正因数）：2=1×2=2×1；分解常数项：3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。用画十字交叉线方法表示下列四种情况：11131-11-32×32×12×-32×-11×3+2×11×1+2×31×（-3）+2×（-1）1×（-1）+2×（-3）=5=7=-5=-7经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。解2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。归纳：一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：a1c1a2×c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。例2把6x2-7x-5分解因式。例3把5x2+6xy-8y2分解因式。例4把（x-y）（2x-2y-3）-2分解因式。（三）、课堂练习1．用十字相乘法因式分解：（1）2x2-5x-12；（2）3x2-5x-2；（3）6x2-13x+5；（4）7x2-19x-6；（5）12x2-13x+3；（6）4x2+24x+27。2．把下列各式因式分解：（1）6x2-13x+6y2；（2）8x2y2+6xy-35；（3）18x2-21xy+5y2；（4）2（a+b）2+（a+b）（a-b）-6（a-b）2。（四）、小结1．用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：（1）正确的十字相乘必须满足以下条件：a1c1在式子中，竖向的两个数必须满足关系a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜a2c2向的两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b，分解思路为“看两端，凑中间。”（2）由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中的一次项的系数，c2是常数项。（3）二次项系数a一般都把它看作是正数（如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数），只需把经分解在两个正的因数。2．形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式。3．凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c的多项式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4。（五）、作业1．用十字相乘法分解因式：（1）2x2+3x+1；（2）2y2+y-6；（3）6x2-13x+6；（4）3a2-7a-6；（5）6x2-11xy+3y2；（6）4m2+8mn+3n2；（7）10x2-21xy+2y2；（8）8m2-22mn+15n2。2．把下列各式分解因式：（1）4n2+4n-15；（2）6a2+a-35；（3）5x2-8x-13；（4）4x2+15x+9；（5）15x2+x-2；（6）6y2+19y+10；（7）20-9y-20y2；（8）7（x-1）2+4（x-1）（y+2）-20（y+2）2。十字相乘法因式分解练习题1、232xx2、672xx3、2142xx4、1522xx5、8624xx6、3)(4)(2baba7、2223yxyx8、234283xxx9、342xx10、1072aa11、1272yy12、862qq13、202xx14、1872mm15、3652pp16、822tt17、2024xx18、8722axxa19、22149baba20、221811yxyx21、222265xyxyx22、aaa1242323、101132xx24、3722xx25、5762xx26、22865yxyx27、71522xx28、4832aa29、6752xx30、1023522abba31、222210173yxabxyba32、22224954yyxyx33、15442nn34、3562ll35、2222110yxyx36、2215228nmnm37、6)25)(35(22xxxx38、24)4)(3)(2)(1(xxxx答案：1、)2)(1(xx2、)6)(1(xx3、)7)(3(xx4、)5)(3(xx5、)2)(4(22xx6、)3)(1(baba7、)2)((yxyx8、)7)(4(2xxx9、)3)(1(xx10、)5)(2(aa11、)4)(3(yy12、)4)(2(qq13、)5)(4(xx14、)9)(2(mm15、)9)(4(pp16、)4)(2(tt17、)5)(4(22xx18、)8)(1(axax19、)7)(2(baba20、)9)(2(yxyx21、)6)(1(2yyx22、)6)(2(aaa23、)53)(2(xx24、)12)(3(xx25、)53)(12(xx26、)45)(2(yxyx27、)7)(12(xx28、)23)(2(aa29、)35)(2(xx30、)5)(25(abab31、)5)(23(xyabxyab32、)32)(32)(1(22xxxy33、)52)(32(nmnm34、)73)(52(ll35、)2)(10(yxyx36、)54)(32(nmnm37、)35)(4)(1(2xxxx38、)8)(2)(3(2xxxx