第四章-向量组的线性相关性

矩阵凡物皆数千古传，数系几度被拓展.矩阵代数为哪般？莫过集成数与算.加减数乘尚简单，矩阵乘法非等闲.深究子式可得秩，初等变换不变量.线性方程组欲解线性方程组，需知初等行变换.矩阵化至最简形，字里行间有答案.4-1向量组及其线性组合定义1.,,,21个分量称为第个数第个分量，个数称为该向量的维向量，这组称为所组成的数个有次序的数iainnnaaanin分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，一、维向量的概念n例如),,3,2,1(n))1(,,32,21(inniin维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量),,,(21nTaaaanaaaa21二、维向量的表示方法维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用等表示，如：TTTTba,,,n维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：,,,bann注意１．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角)20(机身的仰角)22(机翼的转角)(所以，确定飞机的状态，需用6维向量),,,,,(zyxa维向量的实际意义n若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用．思考题如果我们还需要考察其它指标，比如平均成绩、总学分等，维数还将增加．思考题解答答36维的．向量的相等),,2,1(),,,(),,,,(2121nibababbbbaaaaiiTTnTnT则设零向量分量全为0的向量称为零向量．),,2,1(0niaOaiT),,2,1(,0niaOaiT中至少有一个不为若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如()mnAnmija矩阵有个维列向量aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1.,,,的列向量组称为矩阵向量组Aa1a2an三、向量、向量组与矩阵a2ajana1a2ajan,()mnAmnija类似地矩阵又有个维行向量aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211T1T2TiTmT1T2TiTm向量组,,…，称为矩阵A的行向量组．T1T2Tm反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.12,,,,n个维列向量所组成的向量组构成一个矩阵nmmn矩阵构成一个的向量组维行向量所组成个nmnmTmTT,,,21TmTTB2112(,,,)nAα个组组阵对应注：由有限向量所成的向量与矩一一.b1122nnaxaxax线性方程组的向量表示.,,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．，，，组实数，对于任何一给定向量组mmkkkA,,,,:2121定义１.,21个线性组合的系数称为这，，mkkk，称为向量组的一个向量2211mmkkk线性组合mmb2211，使，，一组数如果存在和向量给定向量组mmbA,,,,,:2121.2211有解即线性方程组bxxxmm的线性组合，这时称是向量组则向量Ab向量能由向量组线性表示．bA.),,(),(2121的秩，，的秩等于矩阵，，条件是矩阵线性表示的充分必要能由向量组向量bBAAbmm定理1231,,;.11111210214323011例设aaab123,,baaa证明：向量可由向量组线性表示，并求出表达式.123(,,).AaaaAXb()=(,).1111103201210121(,)0000000000000000证明令则只证方程组有解.故只需验证由rRARAbAb123=,,()=(,)2，RARAbbaaa知故向量可由向量组线性表示.AXb方程组的通解为313232,21xxxx12332322121,10.xcXxccxcc即其中为任意常数因此表达式11232123312332,,,,21(32)(21),xcbaaaxaaacxccacaca.c其中为任意常数..,,,:,,,:2121这两个能相互线性表示，则称量组与向若向量组称线性表示，则向量组组中的每个向量都能由若及设有两个向量组BAABBAsm向量组能由向量组线性表示向量组等价．BA定义２使在数存量线性表示，即对每个向能由（和（若记,,,),,2,1().,,,),,,212121mjjjjsmkkksjbABbbbBAmmjjjjkkkb2211,),,,2121mjjjmkkk（),,,21sbbb（从而msmmssmkkkkkkkkk21222211121121),,,（.)(数矩阵称为这一线性表示的系矩阵ijsmkK1212:,,,:,,,m，smsBbbbAK由此可知，向量组可由向量组线性表示，即存在矩阵使得12(,,,),mmsαK12(,,,)sbbb1212(,,,)(,,,)有解smbbbαX.也就是矩阵方程1212121212:,,,:,,,(,,,)(,)(,,,;,,,)()(,).smmmsBbbbAAABbbbRARAB定理2向量组可由向量组线性表示的充要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩,即1212:,,,:,,,()()(,).msABbbbRARBRAB推论向量组与向量组等价的充要条件是2例121231321311011,;,,.1110213120aabbb设2123,,,.abbb1证明：向量组与向量组等价a2=),=(,,).(),1(,13213021110000000000证明记则123rAaaBbbbA,B()()(,)R2，ARBRAB知所以等价.12=(,,,)的列向量，即nnEeeen例3阶单位矩阵叫做维单位坐标向量(,,,),(,,,),(,,,).12100010001TTTneee.nn任意维向量都可以由维单位向量线性表示4-2向量组的线性相关性0,,,,,,,:22112121mmmmkkkkkkA使全为零的数如果存在不给定向量组定义则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．A例向量组123=(2,-1,3,1),=(4,-2,5,4),=(2,-1,4,-1)TTTααα.1233--=0，线性相关因为ααα,,,012121122:1.,,0.注意若线性无关则只有当时才有成立nnnnαkkkkα+kα++kα=,2..对于任一向量组不是线性无关就是线性相关12,,,.nneee例维单位向量线性无关,0,0,.3.时向量组只包含一个向量若则说线性相关若则说线性无关.4.包含零向量的任何向量组是线性相关的5.对于含有两个向量的向量组,它线性相关的充要条件是两向量的分量对应成比例..,,,(),1262:若向量组线性相关mAm,,,,12则存在不全为零的数使mkkk11220.mmkα+kα++kα=不妨设则有,01k.13132121mmkkkkkk即能由其余向量线性表示.11231223323122332312,,,,,,,,,,(1)0,1,,,,,,,mmm12反之，若向量组中有一个向量可由其余向量线性表示，不妨设可由线性表示，即其中是数.则因为不全为零，所以线性相关.mmmmmmkkkkkkkkkkkk1212:,,,(2)(),,,.A由此，我们有向量组线性相关的充定理线性相关性要条件是中有一个向量可的判由其余向量线性定表示mmm123112223331123,,,,,,,,.bbbbbb已知向量组线性无关试证线性无关例10,,332211321bxbxbxxxx使设有,0)()(133322211xxx）（即,0)()()332221131xxxxxx（亦即线性无关，故有，，因321.0,0,0322131xxxxxx证02110011101列式由于此方程组的系数行.,,0321321线性无关向量组，所以故方程组只有零解bbbxxx线性相关与线性无关是线性代数中最基本的概念之一，我们可以从几个角度来考察线性相关的向量组与线性无关的向量组的本质区别.2,,,(1).11零向量.向量组线性相关它们有系数不全为零的线性组从合线等性组于合看:mm2,,,(1)1向量组线性无关它们只有系数全为零的线性组合才会等于零向量.mm12,,,(2)2.向量组线性相关其中至少有一个向量可从线性表示看以由其余向量:线性表示.mm12,,,(2)mm向量组线性无关其中每一个向量都不能由其余向量线性表示.12112212,,,(1)0,,.,xxx(3)列向量组线性相关齐次线性方程从齐次线组有非零解性方程组看：mmmmmRm.12112212,,,(1)0,,,=()列向量组线性无关齐次线性方程组只有零解mmmmmxxxRm..个维向量组成的向量组，当维数小于向量个数时一定线性相关mnnm1.特别地，个维向量一定线性相关nn12124.(),,,,,,()从行列式看：个维列行向量线性相关以为列行向量组的矩阵的行列式等于零.nnnn1212(),,,,,,()个维列行向量线性无关以为列行向量组的矩阵的行列式不等于零.nnnn121:,,,:,,,,,.mm定理设向量组线性无关,而向量组线性相关则向量必能由向量组线性表示且表示式是唯一的ABbbA1212111221,,,,,,,,,+++0.mmmmmmbkkkkkkkkb证明因为线性相关，所以存在不全为零的数使得12112212=,,,,+++0,,,,.mmmmkkkkkk11,00否则如果，则存在不全为零的数使得这与线性无关矛盾则m+m+kk12121112()()().,,,.mmmmmmkkkbkkkb1于是即能由向量组：线性表示A1221221122212,,()()()0,,,,