二项式定理经典习题及答案

二项式定理1.求()xx2912展开式的：（1）第6项的二项式系数；（2）第3项的系数；（3）x9的系数。分析：（1）由二项式定理及展开式的通项公式易得：第6项的二项式系数为C95126；（2）TCxxx39227212129()()，故第3项的系数为9；（3）TCxxCxrrrrrrr192991831212()()()，令1839r，故r＝3，所求系数是()12212393C2.求证：51151能被7整除。分析：5114921494924922151515105151150515150515151()CCCC，除C51515121以外各项都能被7整除。又CCCCC5151513171717017171161716171721217117771()()显然能被7整除，所以51151能被7整除。3.求9192除以100的余数。分析：919019090909292920929219192919292()CCCC由此可见，除后两项外均能被100整除，而CC929192929082818210081故9192除以100的余数为81。4.（2009北京卷文）若4(12)2(,abab为有理数），则abA．33B．29C．23D．19【答案】B.w【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式.属于基础知识、基本运算的考查.∵40123401234444441222222CCCCC1421282417122，由已知，得171222ab，∴171229ab.故选B.5.（2009北京卷理）若5(12)2(,abab为有理数），则ab（）A．45B．55C．70D．80【答案】C【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式.属于基础知识、基本运算的考查.∵501234501234555555512222222CCCCCC15220202204241292，由已知，得412922ab，∴412970ab.故选C.6.已知()xxn124的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列。（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项。分析：依条件可得关于n的方程求出n，然后写出通项Tr1，讨论常数项和有理项对r的限制。解：依题意，前三项系数的绝对值分别为1，CCnn1221212()()，且212112122CCnn()()即nn2980解得n＝8或n＝1（舍去）TCxxCxrrrrrrrr1884816341212()()()（1）若Tr1为常数项，当且仅当16340r，即316r，而rZ，这不可能，故展开式中没有常数项。（2）若Tr1为有理数，当且仅当1634r为整数。08rrZ，r048,,，即展开式中的有理项共有三项，TxTxTx145923581256，，7.（1）如果12212222187nnnnnCCC，则012nnnnnCCCC（答：128）；（2）化简01223(1)nnnnnCCCnC（答：1(2)2nn）已知9290129(13)xaaxaxax，则0129||||aaaa等于_____（答：94）；（2）2004220040122004(12)xaaxaxax，则0102()()aaaa＋02004()aa＝_____（答：2004）；（3）设nnnxaxaxaaxx2222102)1(,则naaa220_____（答：213n）。8．（湖南理15）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是．第1行11第2行101第3行1111第4行10001第5行110011……………………………………图1【答案】21n，329．（04.上海春季高考）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第___34__行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.10.（2009江西卷理）(1)naxby展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则,,abn的值可能为A．2,1,5abnB．2,1,6abnC．1,2,6abnD．1,2,5abn..答案：D【解析】5(1)2433nb，5(1)322na，则可取1,2,5abn，选D11.(2009湖北卷理)设222212012122)...2nnnnnxaaxaxaxax（，则22024213521lim[(...)(...)]nnnaaaaaaaa.1A.0B.1C2.2D【答案】B【解析】令0x得2021()22nna令1x时201222(1)2nnaaaa令1x时201222(1)2nnaaaa两式相加得：2202222(1)(1)222nnnaaa两式相减得：22132122(1)(1)222nnnaaa代入极限式可得，故选B12.（2009湖北卷文）已知（1+ax）3,=1+10x+bx3+…+a3x3,则b=..【答案】40【解析】因为15()rrrTCax∴..解得2,40ab13.（2009四川卷文）61(2)2xx的展开式的常数项是（用数字作答）m【答案】－20第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051………………【解析】rrrrrrrrrxCxxCT262666612)1()21()2()1(，令026r，得3r故展开式的常数项为20)1(363C14.(2009湖南卷理)在323(1)(1)(1)xxx的展开式中，x的系数为___7__(用数字作答)【答案】：7.【解析】由条件易知3333(1),(1),(1)xxx展开式中x项的系数分别是123333C,C,C，即所求系数是331715.（2009浙江卷理）观察下列等式：1535522CC，1597399922CCC，159131151313131322CCCC，1591317157171717171722CCCCC，………由以上等式推测到一个一般的结论：对于*nN，1594141414141nnnnnCCCC．..答案：4121212nnn【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有1n，二项指数分别为41212,2nn，因此对于*nN，1594141414141nnnnnCCCC4121212nnn16.在(x2＋3x＋2)5的展开式中，x的系数为A.160B.240C.360D.80017.已知S＝10101033102210110)1(C)1(C)1(C)1(Cxxxx在S的展开式中，x3项的系数为A.1010410310CCCB.71010102551014410310CCCCCCCC.0D.118.(2002年全国高考题)(x2+1)(x-2)7的展开式中x3项的系数是_________.答案:100819.54)1()1(xx展开式中x4的系数为A.－40B.10C.40D.4520.已知(32x＋3x2)n展开式中各项系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.答案：(1)326322405)2(270xx21.设Nn，则12321666nnnnnnCCCC。解：由二项式定理得nnnnnnnCCCC)61(6666133221，即61nnnnnnnCCCC7)666(12321，故原式)17(61n。22.在2006)2(x的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当2x时，S等于（）A.30082B.30082C.30092D.30092解：令2006200520053322102006)2(xxaxaxaxaax，取2,2xx，分别得0)2()2(22006332210xaaaa300920063322102)2()2(2xaaaa两式相减得3008200520053312)2()2(2aaa故选B项。23.农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。2003年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元），预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元。根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（）A.4200元~4400元B.4400元~4600元C.4600元~4800元D.4800元~5000元解：2008年农民工资性收入为)06.006.01(1800)06.01(1800225155CC)036.03.01(18002405336.11800（元）又2008年农民其它人均收入为215051601350（元）故2008年农民人均总收入约为455521502405（元）。故选B项。24.（2003）已知数列}{na（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列，（1）求和：223122021CaCaCa，334233132031CaCaCaCa；（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明。[（1）21223122021)q1(aCaCaCa；31334233132031)q1(aCaCaCaCa；（2）归纳概括的结论为：若数列}{na是首项为a1，公比为q的等比数列，则nn1nn3n42n31n20n1Ca)1(CaCaCaCa)Nn()q1(an1，证明略]25.（2007湖北文、理）如果nxx3223的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（B）A.3B.5C.6D.1026．（2007江苏）若对于任意实数x，有3230123(2)(2)(2)xaaxaxax，则2a的值为（B）A．3B．6C．9D．1227．（2007江西文）设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为（Ａ）A．－2B．－1C．1D．228．（2007江西理）已知(x＋33x)n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（C）A．4B．5C．6D．729.(2007安徽文)已知55433221054)1(xaxaxaxaxaax,则())(531420aaaaaa的值等于-256.30.（2005浙江卷理第5题）在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是()(A)74(B)121(C)－74(D)－121答案：D10．求84)21(xx展开式中系数最大的项；解：记第r项系数为rT，设第k项系数最大，则有11kkkkTTTT又1182.rrrCT，那么有kkk