数学建模-森林救火建模

森林救火模型森林失火了！消防站接到火警后，立即决定派消防队员前去救火.一般情况下，派往的队员越多，火被扑灭的越快，火灾所造成的损失越小，但是救援的开支就越大；相反，派往的队员越少，救援开支越少，但灭火时间越长，而且可能由于不能及时灭火而造成更大的损失，那末消防站应派出多少队员前去救火呢（1）问题分析如题中所述，森林救火问题与派出的消防队员的人数密切相关，应综合考虑森林损失费和救援费，以总费用最小为目标来确定派出的消防队员的人数使总费用最小.•救火的总费用由损失费和救援费两部分组成.损失费由森林被烧毁的面积大小决定，而烧毁面积与失火、灭火（指火被扑灭）的时间（即火灾持续的时间）有关，灭火时间又取决于参加灭火的队员的数目，队员越多灭火越快.救援费除与队员人数有关外，也与灭火时间长短有关.救援费可具体分为两部分：一部分是灭火器材的消耗及消防队员的薪金等，与队员人数及灭火时间均有关；另一部分是运送队员和器材等一次性支出，只与队员人数有关.设火灾发生时刻为t=0，开始救火时刻为t=t1，灭火时刻为t=t2，t时刻森林烧毁面积为B（t），则造成损失的被烧毁的森林的面积为B（t2），而是森林被烧毁的速度，也表示了火势蔓延的程度.从火灾发生时刻开始到火被扑灭的过程中，被烧毁的森林的面积是不断扩大的，因而B（t）应是时间t的单调递增的函数，即20,0ttdtdB从火灾发生到消防队员到达并开始救火这段时间内，火势是越来越大的，即开始救火以后，即时，如果队员灭火能力足够强，火势会越来越小，即并且当t=t2时，1220,0ttdtBd21ttt2122,0tttdtBd0dtdB（2）模型假设①森林中树木分布均匀，而且火灾是在无风的条件下发生的；②损失费与森林烧毁面积B（t2）成正比，比例系数为C1，即烧毁单位面积的损失费为C1；在建立数学模型之前，需要对烧毁森林的损失费、救援费及火势蔓延程度作出合理的假设.dtdB③从失火到开始救火这段时间内，火势蔓延程度与时间t成正比，比例系数为β，称之为火势蔓延速度，即④派出消防队员x名，开始救火以后（），火势蔓延速度降为（线性化），其中可视为每个队员的平均灭火速度，且有：因为要扑灭森林大火，灭火速度必须大于火势蔓延的速度，否则火势将难以控制；dtdB;0,1tttdtdB1ttxx⑤每个消防队员单位时间费用为C2（包括灭火器材料的消耗及消防队员的薪金等），救火时间为t2-t1，于是每个队员的救火费用为C2(t2-t1)；每个队员的一次性支出为C3(运送队员、器材等一次性支出).对于假设3可作如下解释：由于森林中树木分布均匀，且火灾是在无风条件下发生的，因而火势可看作以失火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，因而蔓延半径r与时间t成正比，又因为烧毁面积B与成正比，故B与成正比，从而与t成正比dtdB2r2t（3）模型建立总费用由森林损失费和救援费组成.由假设2，森林损失费等于烧毁面积B（t2）与单位面积损失费C1的积，即C1B(t2)；由假设5，救援费为C2x(t2-t1)+C3x，因此，总费用为由假设3，4，火势蔓延速度在内线性地增加，t1时刻消防队员到达并开始救火，此时火势用b表示，而后，在内，火势蔓延的速度线性地减少（如下图）xcttxctBcxC312221)()()(dtdB10tt21ttt即因而有,),)((0,2121tttttxtttdtdB121,bbtttx烧毁面积为恰为图中三角形的面积.由b的定义有，于是22201(),2tdBBtdtbtdt121()()btxtt,,212xbbtxbtt所以其中只有派出的消防队员的人数是未知的.问题归结为如下的最优化问题：1231()()2bbbCxbCCxCxxx.0..)(min0xtsxCx（4）模型求解这是一个函数极值问题.令容易解得0dxdC2122322CbCbxC（5）模型分析与改进①应派出的（最优）消防队员人数由两部分组成，其中是为了把火扑灭所必须的最低限度,因为β是火势蔓延速度，而λ是每个队员的平均灭火速度，同时也说明这个最优解满足约束条件，结果是合理的.②派出的队员数的另一部分，即在最低限度基础之上的人数，与问题的各个参数有关.当队员灭火速度λ和救援费用系数C3增大时，队员数减少；当火势蔓延速度β、开始救火时的火势b及损失费用系数C1增加时，消防队员人数增加；当救援费用系数C2增大时，队员人数也增大.③改进方向：i取消树木分布均匀、无风这一假设，考虑更一般情况；ii灭火速度是常数不尽合理，至少与开始救火时的火势有关；iii对不同种类的森林发生火灾，派出的队员数应不同，虽然β（火势蔓延速度）能从某种程度上反映森林类型不同，但对β相同的两种森林，派出的队员也未必相同；iv决定派出队员人数时，人们必然在森林损失费和救援费用之间作权衡，可通过对两部分费用的权重来体现这一点.