高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法课件

考纲定位重难突破1.能知道直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．2.掌握分析综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.重点：综合法与分析法的思维方式和步骤．难点：综合应用两种方法解题.01课前自主梳理02课堂合作探究03课后巩固提升课时作业[自主梳理]1．直接证明和，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．分析法综合法2．综合法和分析法的定义、框图综合法分析法定义一般地，利用和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫作综合法一般地，从要证明的出发，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫作分析法充分条件已知条件推理论证结论综合法分析法框图表示P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论．)Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件[双基自测]1．下列说法错误的是()(1)分析法证明是执果索因．(2)综合法证明的依据是三段论．(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．(4)分析法证明是从结论推向已知．A．(1)B．(2)C．(3)D．(4)解析：综合法是从“已知”看可知，逐步推出“未知”，推理过程的依据是三段论其逐步推理实际上是寻找它的必要条件，故②③正确．分析法是执果索因，寻找结论成立的充分条件，不是从结论推向已知，因此(1)正确，(4)错误．答案：D2．要证明a＋a＋7a＋3＋a＋4(a≥0)，可选择的方法有多种，其中最合理的是()A．综合法B．类比法C．分析法D．归纳法答案：C3．命题“函数f(x)＝x－xlnx在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xlnx求导，得f′(x)＝－lnx，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－lnx0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．解析：本命题的证明，利用题设条件和导数与函数单调性的关系，经推理论证得到了结论，所以应用的是综合法的证明方法．答案：综合法4．角A，B为△ABC内角，AB是sinAsinB的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“既不充分又不必要”)．解析：在△ABC中，AB⇔ab由正弦定理asinA＝bsinB，从而sinAsinB.因此AB⇔ab⇔sinAsinB，为充要条件．答案：充要探究一综合法的应用[例1]设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)，其中m为常数，且m≠－3.(1)求证：{an}是等比数列；(2)若数列{an}的公比为q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝a1，bn＝32f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求证：{1bn}为等差数列．[证明](1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3，得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3.两式相减，得(3＋m)an＋1＝2man(m≠－3)，∴an＋1an＝2mm＋3.又m为常数，且m≠－3，∴{an}是等比数列．(2)∵(3－m)Sn＋2man＝m＋3，∴(3－m)a1＋2ma1＝m＋3.又m≠－3，则a1＝1.∴b1＝a1＝1.由(1)，可得q＝f(m)＝2mm＋3(m≠－3)．∴n∈N*且n≥2时，bn＝32f(bn－1)＝32·2bn－1bn－1＋3.∴bnbn－1＋3bn＝3bn－1.∴1bn－1bn－1＝13.∴数列{1bn}是首项为1，公差为13的等差数列．综合法证明数学问题的步骤(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．(3)适当调整，回顾反思，回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，对语言进行适当的修饰，反思总结．1．已知a，b0，且a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4.证明：解法一：∵a，b是正数，∴a＋b≥2ab0，1a＋1b≥21ab0(当且仅当a＝b时，上两式取等号)．∴(a＋b)(1a＋1b)≥4.又a＋b＝1，∴1a＋1b≥4.解法二：∵a，b是正数，且a＋b＝1，∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝1＋ba＋ab＋1≥2＋2ba·ab＝4(当且仅当a＝b时，取等号)．探究二分析法的应用[例2]设a，b∈R，求证：a2＋b2≥22(a＋b)．[证明]当a＋b0时，a2＋b2≥0，不等式a2＋b2≥22(a＋b)显然成立．当a＋b≥0时，要证明a2＋b2≥22(a＋b)成立．只需证(a2＋b2)2≥22a＋b2，即证a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.因为a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，所以a2＋b2≥22(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．分析法证明不等式要注意哪些事项2．已知a0，求证：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.证明：要证明a2＋1a2－2≥a＋1a－2.只需证：a2＋1a2＋2≥a＋1a＋2.由于a0.因此只需证明a2＋1a2＋22≥a＋1a＋22即a2＋1a2＋4a2＋1a2＋4≥a2＋1a2＋22a＋1a＋4，只需证2a2＋1a2≥2a＋1a.只需证4a2＋1a2≥2a2＋2＋1a2，也就是证明a2＋1a2≥2.上述不等式显然成立，故原不等式成立．探究三综合法与分析法的综合应用[例3]△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，a，b，c分别是A，B，C所对的边，求证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.[证明]要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，即证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，只需证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，化简，得ca＋b＋ab＋c＝1，即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°，所以cosB＝a2＋c2－b22ac＝12，因此a2＋c2－b2＝ac成立．故(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立．对综合法与分析法的综合应用的认识(1)综合法推理清晰，易于表述，分析法从结论入手，易于寻找解题思路．(2)分析法与综合法是两种思路相反的推理方法，分析法是倒溯，综合法是顺推．因此常将二者交互使用，互补优缺点，从而形成分析综合法，其证明模式可用框图表示如下：P⇒P1→P1⇒P2→…→Pn⇒P′⇓Q′⇒Qm←…←Q2⇒Q1←Q1⇒Q其中P表示已知条件、定义、定理、公理等，Q表示可证明的结论．3．设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，证明：ax＋cy＝2.证明：要证明ax＋cy＝2，只要证ay＋cx＝2xy，也就是证明2ay＋2cx＝4xy.由题设条件，b2＝ac,2x＝a＋b,2y＝b＋c，∴2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc，4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc，所以2ay＋2cx＝4xy成立．故ax＋cy＝2成立．证明过程中忽略分类讨论而致误[典例]设a＋b0，n为偶数，求证：bn－1an＋an－1bn≥1a＋1b.[证明]bn－1an＋an－1bn－1a－1b＝an－bnan－1－bn－1abn.①当a0且b0时，(an－bn)(an－1－bn－1)≥0，(ab)n0，∴an－bnan－1－bn－1abn≥0，∴bn－1an＋an－1bn≥1a＋1b.②当a，b有一个为负值时，不妨设a0，b0.∵a＋b0，∴a|b|.又∵n为偶数，∴(an－bn)(an－1－bn－1)0.又∵(ab)n0，∴an－bnan－1－bn－1abn0，即bn－1an＋an－1bn1a＋1b.综合①②知原不等式成立．[错因与防范](1)因为当n为偶数时，an－bn和an－1－bn－1不一定同号，忽略了在题设条件a＋b0的情况下，应分a0且b0和a，b有一个为负值两种情况加以讨论．(2)数学证明要求推理严谨，每一步推理由条件到结论都必须有充分的理论根据(如定义，定理，性质等)．(3)要善于把握条件，各种情况考虑周全，特别是对不等式的性质的运用，要注意其条件的充分性，否则，应对其分类讨论证明.[随堂训练]1．欲证2－36－7成立，只需证()A．(2－3)2(6－7)2B．(2－6)2(3－7)2C．(2＋7)2(3＋6)2D．(2－3－6)2(－7)2解析：要证2－36－7,只要证2＋76＋3,只需证明(2＋7)2(6＋3)2．答案：C2．在△ABC中，已知cosAcosBsinAsinB，则△ABC的形状一定是________．解析：∵cosAcosBsinAsinB∴cosAcosB－sinAsinB0，即cos(A＋B)0.由0A＋Bπ，知0A＋Bπ2.因此C＝π－(A＋B)π2.∴△ABC是钝角三角形．答案：钝角三角形3．将下面用分析法证明a2＋b22≥ab的步骤补充完整：要证a2＋b22≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证______，由于________显然成立，因此原不等式成立．答案：(a－b)2≥0(a－b)2≥0