析因设计与分析

析因设计FactorialDesign2020年4月8日例：在评价药物疗效时，除需知道A药和B药各剂量的疗效外（主效应），还需知道两种药同时使用的交互效应。析因设计及相应的方差分析能分析药物的单独效应、主效应和交互效应。析因设计方法的提出（意义）2020年4月8日2×2析因设计B因素A因素A1A2B1A1B1A2B1B2A1B2A2B22×2=4种处理2因素2水平全面组合2020年4月8日2×3=6种处理各因素各水平全面组合的设计ABB1B2B3A1A1B1A1B2A1B3A2A2B1A2B2A2B32×3析因设计2020年4月8日AB1B2C1C2C1C2A1A1B1C1A1B1C2A1B2C1A1B2C2A2A2B1C1A2B1C2A2B2C1A2B2C22×2×2=8种处理2×2×2析因设计2020年4月8日3×3析因试验举例考察不同剂量考的松和党参对ATP酶活力的作用。A因素(考的松)不用低剂量高剂量不用OA1A2B因素低剂量B1A1B1A2B1高剂量B2A1B2A2B22020年4月8日卫生统计学教研室二、析因设计的有关术语单独效应（simpleeffects）：主效应（maineffects）：交互作用（Interaction）：2020年4月8日（一）单独效应其它因素水平固定时，同一因素不同水平间效应的差别2×2析因设计B因素A因素A1A2B1A1B1(a1b1=26)A2B1(a2b1=30)B2A1B2(a1b2=36)A2B2(a2b2=52)B因素固定在1水平时，A因素的单独效应为4……2020年4月8日（二）主效应某一因素各水平单独效应的平均差别Am=[(a2b2-a1b2)+(a2b1-a1b1)]/2=[16+4]/2=10Bm=[(a1b2-a1b1)+(a2b2-a2b1)]/2=[10+22]/2=162020年4月8日(三)交互效应若一个因素的单独效应随另一个因素水平的变化而变化，且变化的幅度超出随机波动的范围时，称该两因素间存在交互效应。2×2析因设计B因素A因素A1A2B1A1B1(a1b1=26)A2B1(a2b1=30)B2A1B2(a1b2=36)A2B2(a2b2=52)AB=[(a2b2-a1b2)-(a2b1-a1b1)]/2=(16-4)/2=6AB=[(a2b2-a2b1)-(a1b2-a1b1)]/2=(22-10)/2=62020年4月8日正交互效应（协同作用）：两因素联合（共同）作用大于其单独作用之和负交互作用（拮抗作用）：两因素联合作用小于其单独作用之和)()()(000baab)()()(000baab)()()(000baab存在交互效应abba,,,0表示4个处理组A1B1,A2B1,A1B2,A2B2对应的总体均值BAA1(未用药)A2(用药)B1(未用药)A1B1A2B1B2(用药)A1B2A2B22020年4月8日2527293133353739414345a1a2b1b2协同作用2020年4月8日2527293133353739414345a1a2b1b2拮抗作用2020年4月8日一级交互效应:两个因素间二级交互效应：三个因素间设计特点：在一个实验设计里，既可分析因素的单独效应，又可分析其交互效应。2020年4月8日三、实验设计方法例：研究猪的性别和不同饲料（玉米、大豆粉）对体重增加的影响，试作析因分析。A1：雌猪B1:大豆加4%蛋粉C1:玉米加0.6%己氨酸A2：雄猪B2:大豆不加蛋粉C2:玉米不加己氨酸2020年4月8日(一)确定设计模型本例三个因素，分别是2、2、2个水平，用2×2×2析因设计AB1B2C1C2C1C2A1A1B1C1A1B1C2A1B2C1A1B2C2A2A2B1C1A2B1C2A2B2C1A2B2C232只雌猪随机分配到（1）～（4）组，随机数序号1～8（1）组，9～16（2）组，17～24（3）组，25～32（4）组。32只雄猪随机分配到（5）～（8）组。大豆玉米雌雄(二)将试验单位随机分配2020年4月8日三、实验结果与分析（一）方差分析的基本思想1.本例总方差分解为8个组成部分：2.交互效应由因素的联合（共同）效应分解求得：2020年4月8日（二）计算过程表3.9不同饲料喂养猪的平均日增重量（kg)A1B1C1A1B1C2A1B2C1A1B2C2A2B1C1A2B1C2A2B2C1A2B2C2合计0.550.770.510.480.730.840.670.420.540.600.570.610.700.620.600.600.740.580.680.590.590.670.630.640.710.740.660.620.610.660.660.480.620.610.430.490.690.760.610.550.580.570.500.490.540.730.570.480.560.720.580.520.700.630.670.540.510.790.650.490.610.610.710.49Tg(ΣX)ΣX22.94033.67642.67682.32573.37293.85403.29142.241024.37854.815.384.584.295.175.525.124.2039.072020年4月8日方差来源DFSSMS总变异(T)N-1组间变异(B)G-1SSB/(G-1)组内变异(E)N-GSST-SSBSSE/(N-G)G为处理组数，Tk(k=1,2,…,G)为各处理组观察值小计，r为各处理组例数，C=(ΣX)2/N总变异分离成组间变异和组内变异第一步2020年4月8日第二步将组间变异分解出主效应项和交互效应项CArJKi21CBrIKj21CCrIJK21方差来源DFSSMSF主效应AI-1SS(A)/dfaMS(A)/MSEBJ-1SS(B)/dfbMS(B)/MSECK-1SS(C)/dfcMS(C)/MSE一级交互效应AB(I-1)(J-1)SSTAB-SS(A)-SS(B)SS(AB)/dfabMS(AB)/MSEAC(I-1)(K-1)SSTAB-SS(A)-SS(C)SS(AC)/dfabMS(AC)/MSEBC(J-1)(K-1)SSTAB-SS(B)-SS(C)SS(BC)/dfabMS(BC)/MSE二级交互效应ABC(I-1)(J-1)（K-1）SS(ABC)=SSB-SS(A)-SS(B)-SS(C)-SS(AB)-SS(AC)-SS(BC)SS(ABC)/dfABCMS(ABC)/MSEr为每组例数2020年4月8日(1)H0:性别因素各水平的体重平均增长值相同;H1:性别因素各水平的体重平均增长值不相同;(2)H0:大豆因素各水平的体重平均增长值相同;H1:大豆因素各水平的体重平均增长值不相同;(3)H0:玉米因素各水平的体重平均增长值相同;H1:玉米因素各水平的体重平均增长值不相同;(4)H0:性别因素的各水平的体重平均增长值的差异,独立于大豆因素,或者大豆因素的体重平均增长值的差异独立于性别因素;H1:两者不独立。(5)H0:性别因素的各水平的体重平均增长值的差异,独立于玉米因素,或者玉米因素的体重平均增长值的差异独立于性别因素;H1:两者不独立（6）略（7）H0:三个因素的各水平的体重平均增长值的差异相互独立H1:三个因素的各水平的体重平均增长值的差异不独立第(4)-（7）个假设就是检验因素的交互影响。2020年4月8日1.计算总变异r为每组例数2020年4月8日表3.9不同饲料喂养猪的平均日增重量（kg)A1B1C1A1B1C2A1B2C1A1B2C2A2B1C1A2B1C2A2B2C1A2B2C2合计0.550.770.510.480.730.840.670.420.540.600.570.610.700.620.600.600.740.580.680.590.590.670.630.640.710.740.660.620.610.660.660.480.620.610.430.490.690.760.610.550.580.570.500.490.540.730.570.480.560.720.580.520.700.630.670.540.510.790.650.490.610.610.710.49Tg(ΣX)ΣX22.94033.67642.67682.32573.37293.85403.29142.241024.37854.815.384.584.295.175.525.124.2039.072.计算各因素的主效应（A.B.C)首先计算A.B.C三因素不同水平的合计值A1=4.81+5.38+4.58+4.29=19.06A2=5.17+5.52+5.12+4.20=20.01B1=20.88B2=18.19C1=19.68C2=19.392020年4月8日同理可得DF(B)=2-1=1DF(C)=2-1=1A因素主效应DF(A)=因素水平数－1=I-1=2-1=1r为每组例数J为B因素水平数K为C因素水平数I为A因素水平数2020年4月8日3.计算因素间的交互效应（AB、AC、BC、ABC)A14.81+5.38=10.19(TA1B1)4.58+4.29=8.87(TA1B2)A25.17+5.52=10.69(TA2B1)5.12+4.20=9.32(TA2B2)C1C1AB1B2C2C2表3.10A、B交互效应计算副表同理可得，DFAC=DFBC=12020年4月8日表不同饲料喂养猪的平均日增重量（kg)A!B1C1A1B1C2A1B2C1A1B2C2A2B1C1A2B1C2A2B2C1A2B2C2合计0.550.770.510.480.730.840.670.420.540.600.570.610.700.620.600.600.740.580.680.590.590.670.630.640.710.740.660.620.610.660.660.480.620.610.430.490.690.760.610.550.580.570.500.490.540.730.570.480.560.720.580.520.700.630.670.540.510.790.650.490.610.610.710.49Tg(ΣX)4.815.384.584.295.175.525.124.2039.07ΣX22.94033.67642.67682.32573.37293.85403.29142.24104.37852020年4月8日4.误差变异2020年4月8日表3.13表3.9析因实验结果方差分析表方差来源DFSSMSF值P值处理组间（7）（0.2123）性别间10.01410.01412.5180.05大豆间10.11310.113120.1960.01玉米间10.00130.11310.2320.05一阶交互效应AB10.0000———AC10.01130.01132.0180.05BC10.07090.070912.6610.01二阶交互效应ABC10.00160.00160.2860.05误差560.31520.0056合计630.5275（三）结论2020年4月8日表3.12B、C交互效应计算副表A1A1BC1C2A2A2B14.81+5.17=9.98(TB1C1)5.38+5.52=10.90(TB1C2)B24.58+5.12=9.70(TB2C1)4.29+4.20=8.49(TB2C2)大豆玉米B取1水平（大豆加4%蛋粉），C取2水平时（玉米不加己氨酸）时效果最好。2020年4月8日AB1B2C1C2C1C2A1A1B1C1A1B1C2A1B2C1A1B2C2A2A2B1C1A2B1C2A2B2C1A2B2C2(四)关于组间均衡问题析因设计对各因素不同水平全部组合，每个组合的样本含量相同，即每个组合重复相同次试验，