高等数学二重积分讲义试题答案

第七章多元函数积分学§7.1二重积分(甲)内容要点一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序序问题模型I：设有界闭区域)()(,),(21xyxbxayxD其中12(),()xx在[,]ab上连续，(,)fxy在D上连续，则DbaxxDdyyxfdxdxdyyxfdyxf)()(21),(),(),(模型II：设有界闭区域)()(,),(21yxydycyxD其中12(),()yy在[,]cd上连续，(,)fxy在D上连续则21()()(,)(,)(,)ydDDcyfxydfxydxdydyfxydx关于二重积分的计算主要根据模型I或模型II，把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域D如果既不符合模型I中关于D的要求，又不符合模型II中关于D的要求，那么就需要把D分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I或模型II中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D，然后根据D再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。二、在极坐标系中化二重积分为累次积分在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定对进行积分，然后再对进行积分，由于区域D的不同类型，也有几种常用的模型。模型I设有界闭区域12(,),()()D其中12(),()在[,]上连续，(,)(cos,sin)fxyf在D上连续。则21()()(,)(cos,sin)(cos,sin)DDfxydfdddfd模型II设有界闭区域)(0,),(D其中()在[,]上连续，(,)(cos,sin)fxyf在D上连续。则DDdfdddfdyxf)(0)sin,cos()sin,cos(),(（乙）典型例题一、二重积分的计算例1计算2yDedxdy，其中D由y=x,y=1和y轴所围区域解：如果22110yyDxedxdydxedy那么先对2ye求原函数就不行，故考虑另一种顺序的累次积分。22100yyyDedxdydyedx这时先对x积分，2ye当作常数处理就可以了。原式=)11(2121101022eedyyeyy例2计算2||102||xyyxdxdy解：原式=11022222xxdyxydyyxdx2223311222221103113221122()()33225||(2)3332yyxyyxxydxyxdxxdxxdx例3求22()DIxyyd1)1(4:2222yxyxD解一：DDD大圆小圆2222222000()163DDxyydxyddrdr大圆大圆对称性cos202232D229320drrddyxD小圆小圆)23(91622dyyxD解二：由积分区域对称性和被积函数的奇偶性可知D0ydDDdyxdyx上2222212222222222002cos2224416162()(32)3399DDxydxyddrddrdr上上原式二、交换积分的顺序例1交换aaxxaxdyyxfdx20222),(的积分顺序解原式=Ddxdyyxf),(其中D由22yaxx和2yax以及2xa所围的区域321UDUDDD由2222222yaaxxaxyayxaxy解出解出因此按另一顺序把二重积分化为累次积分对三块小区域得原式aayaaayaaayaaayadxyxfdydxyxfdydxyxfdy2222020222222),(),(),(例2设证明连续，yf)(00()[()(0)]()()axfyIdxdyfafaxxy证明：交换积分次序ayayaxyadxyfdyI220)2()2()(令,cos2,sin22tdtyadxtyayax则2002cos2()()[()(0)]cos2aaaytIfydydtfydyfafayt三、二重积分在几何上的应用1、求空间物体的体积例1求两个底半径为R的正交圆柱面所围立体的体积解设两正交圆柱面的方程为222222xyRxzR和，它们所围立体在第一卦限中的那部分体积dxdyxRVD221其中D为220,0xRyRx因此30222200132)(22RdxxRdyxRdxVRxRR而整个立体体积由对称性可知313168RVV例2求球面)0(24222222RRxyxRzyx和圆柱面所围（包含原点那一部分）的体积解dxdyyxRVD222144其中D为xy平面上22xRxy与x轴所围平面区域用极坐标系进行计算2cos222220032330444432322(1sin)()3323RDVRrrdrddRrrdrRdR2、求曲面的面积（数学一）