结构力学第五章结构位移计算

第五章虚功原理和结构位移的计算第一节概述一、结构的位移结构在外部因素作用下，将产生尺寸形状的改变，这种改变称为变形；由于变形将导致结构各结点位置的移动，于是产生位移。1、线位移（1）水平线位移：H（2）铅直线位移：V2、角位移：3、位移有“相对位移”与“绝对位移”之分。4、上述各种位移统称为“广义位移”。相对应的力称为广义力。5、各种位移举例二、计算结构位移的目的1、刚度验算：电动吊车梁跨中挠度fmaxl/600。2、计算超静定结构必须考虑位移条件。3、施工技术的需要，例如：三、计算位移的有关假定1、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。2、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。4、当杆件同时承受轴力与横向力作用时，不考虑由于杆弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载为线形关系，故求位移时可用叠加原理。PPBA第二节虚功原理一、基本概念1、功：一般来说，力所作的功与其作用点移动路线的形状、路程的长短有关。dsdsPCOSPdTTSS),(或：dsPT2、实功：力由于自身所引起的位移而作功。作的功与其作用点移动路线的形状、路程的长短有关。PT21P当静力加载时，即：P由0增加至P；由0增加至实功的计算式为：3、虚功：当位移与作功的力无关时，且在作功的过程中，力的大小保持不变，这样的功称为虚功。PTPAADCOSD式中为总位移D在力P方向的投影。虚功的计算式为：4、虚功对应的两种状态及应满足的条件：（1）虚力状态：为求真实位移而虚设的力状态，它满足静力平衡条件。（2）虚力状态：为求真实力而虚设的位移状态，它满足变形协调条。二、变形杆件体系的虚功方程“杆件AB处于一静力可能的力状态，设另有一与其无关的几何可能的位移状态，则前者的外力由于后者的位移所做的虚外功T等于前者的切割面内力由于后者的变形所作的虚变形功V”。用式子表达就是下面的虚功方程：T=V虚功方程也可以简述为：“外力的虚功等于内力的虚变形功”。其具体表达式为：)()()()()(][iBAiBABAiIiIiIIdsMQNdsmqvpumvQuN当所研究的体系为刚体时，虚功方程则简化为：T=0第三节平面杆件结构位移计算的一般公式单位荷载法一、虚功方程的意义及应用dsmqvpumvQuNiBABAiIiII)(][)()()()(iBAIidsMQN2、虚位移原理：研究实际的平衡力系在虚设位移上的功，以计算结构的未知力等。3、虚力原理：研究虚设的平衡力系在实际位移上的功，以计算结构的未知位移。1、意义：虚功方程的每一项都是广义力与广义位移的乘积。二、单位荷载法1、定义：应用虚力原理，通过加单位力求实际位移的方法。2、计算结构位移的一般公式对下面两种状态应用虚功原理：),,,(aaaaC),,,(KKKKRNQM即：aKaKaKaKKaCRdsNdsQdsMdsNdsQdsMCRCRaKaKaKaKaKKa22111三、如何施加单位荷载（求线位移、相对线位移）求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。第四节静定结构在荷载作用下的位移计算一、位移计算公式的建立aKaKaKaKKVCRdsNdsQdsMdsEANNdsGAQQKdsEIMMPKPKPKKP于是：0aC因无支座移动：根据材力公式：EAPNaGAQQKKaEIMKa二、位移计算公式的简化1、梁和刚架（略去轴向变形和剪切变形影响）：2、桁架（只考虑轴力影响）：dsEIMMPKKPdsEANNPKKP对扁拱（压力线与拱轴接近）：4、组合结构：dsEIMMPKKPdsEANNdsEIMMPKPKKPdsEANNdsEIMMPKPKKP3、拱：一般只考虑弯曲变形：例题1试求图示刚架A点的竖向位移AV。各杆材料相同，截面抗弯模量为EI。三、位移计算举例解：（1）在A点加一单位力，建立坐标系如（图2）示，写出弯矩表达式AB段：BC段：1xMKlMK221qxMP22qlMP（2）将以上弯矩表达式代入求位移公式)(85)2)((1)2)((1402210211EIqldxqllEIdxqxxEIdsEIMMllPKAV例题2试求图示桁架C点的竖向位移CV。各杆材料相同，截面抗拉压模量为(KN)NP26/102mKNEAKN解：（1）在C点加一单位力，作出单位力作用下的桁架内力图（右图）（2）作出荷载作用下的桁架内力图（左图）（3）将NK、NP代入求位移公式dsEANNPKCV)]2()20()1()5()36.22()12.1()5()36.22()49.1()3()10()67.0[(1EA)(03.0m例题3试求图示半径为R的圆弧形曲梁B点的竖向位移BV。梁的抗弯刚度EI为常数。sinPRMPsinRMK解：（1）在B点加一单位力（右图），写出单位力作用下的弯矩表达式（2）写出单位力作用下的弯矩表达式（左图）（3）将MK、MP代入求位移公式dsEIMMPKBP)(4sin32023EIPRdEIPR20))(sin)(sin(1RdPRREI二、图乘法证明结论：在满足前述条件下，积分式之值等于某一图形面积乘以该面积形心所对应的另一直线图形的纵y0,再除以EI。lPKdsEIMMyxoyyodxdMP(x)MK(X)xxoBAlPKdsEIMMBAPKdxMMEI1BAPdxMtgxEI1baPdxxMtgEI1BAxdtgEI1PxtgEI0101yEIP第五节图乘法一、图乘法应满足的条件1、杆件为等截面直杆。2、EI为常数。3、MK、MP图形中至少有一个为直线图形。三、使用乘法时应注意的问题1、yo必须取自直线图形；2、当MK为折线图形时，必须分段计算；3、当杆件为变截面时亦应分段计算；4、图乘有正负之分：弯矩图在杆轴线同侧时，取正号；异侧，负号。5、若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分别取自两图形；6、图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别图乘。)22(61)323(2)332(21bcadcdaclEIdcbldcalEIΔ两梯形相乘：7、三角形、标准二次抛物线的面积、形心公式必须牢记。练习题：试求图示连续梁C点的竖向位移CV和A截面的转角θA。截面抗弯模量为EI。PCBAl/2l/2答案：)(483EIplcv)(162EIplA答案：)(162EIMlcv)(3EIMlA(1)(2)CBAl/2l/2M（Mp图）（Mk1图）)(0924.013860mEIlPKCVEIdsEIMM)]300()66()26()45632()33002()266[(1例题试求左图所示刚架C点的竖向位移AV和转角C。各杆材料相同，截面抗弯模量为:25105.1mKNEI（Mk2图）).(0168.02520)]1()6300()1()45632()1()26300[(1radEIEIC第六节静定结构由于温度改变和支座移动引起的位移一、由于温度改变引起的位移图示悬臂梁由于温度改变而引起变形。为求CV，在C点加一单位力，根据求位移公式计算CV。),,,(aaaaC),,,(KKKKRNQMaKaKaKaKKaCRdsNdsQdsM将以上各式代入求位移的一般公式，可得温度改变位移计算式：dstdsa0;0dsa;dshtdsa;0ACR经分析：dshtMdstNKKt)()(0若每一杆件沿其全长温度改变相同，且截面高度相同，则：KKMNthtt)()(0例题：图示简支刚架内侧温度升高25ºC，外侧温度升高5ºC，各截面为矩形，h=0.5m,线膨胀系数=1.0105,试求梁中点的竖向位移DV。+25ºC+5ºC解：作出MK、NK图后，依求位移公式计算位移：MK图NK图KKMNthtt)()(0)(00075.0m)71(15100.1)23621(5.020100.155例题：三铰刚架，支座B发生如图1所示的位移：a=5cm,b=3cm,l=6m,h=5m。求由此而引起的左支座处杆端截面的转角A。解：在要求位移方向上加单位力（图2），求出支座反力后依求位移公式计算位移：（图1）（图2）aKACR)]05.0101()03.061[().(01.0rad二、支座移动引起的位移因支座移动不引起静定结构的内力，故虚功方程中变形功为零，于是求位移公式简化为：aKKaCR第七节线性变形体的几个互等定理一、功的互等定理：在线性变形体系中，状态一的外力由于状态二的位移所作的虚功等于状态二的外力由于状态一的位移所作的功。P1•12=P2•21二、位移互等定理：如果作用在体系上的力是单位力，则在第一个单位力方向上，由于第二个单位力所引起的位移等于第二个单位力方向上，由于第一个单位力所引起的位移。12=21三、反力互等定理：如果结构支座发生的是单位位移，则支座1由于支座2的单位位移所引起的反力r12等于支座2由于支座1的单位位移所引起的反力r21。r12=r21四、反力与位移互等定理：由于单位荷载使体系中某一支座所产生的反力，等于该支座发生与反力方向相一致的单位位移时，在单位荷载作用处所引起的位移，唯符号相反。r12=-21一、试绘制图示结构内力图。P/2P/2PaaaPa/2Pa/2Pa/2Pa/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2M图Q图N图aa/2a/2PpaP2P2P2pa1.5pa0.5pa2PP2PM图Q图N图2paa/2a/2a/22KN16kN/m8kNa/220361212613kN5kN6kN26513135M(kN.m)Q(kN)N(kn)二、试绘制图示结构弯矩图。30kN30kN3kN/m5m5m10m10m10m4507515037.5M(kN.m)mma2a2aa1.5m3m1mM图7.5kN37.5kN0.5m/a1.5m/a2m/a3m0CM（1）作1-1截面，研究其左半部：压）(221PN0KM拉）(44PN（2）研究结点D：0Y拉）(233PN（3）研究结点E：0EDF)(42压PNABCDPP0E11K三、试求图示桁架指定截面之内力。0Y（1）作1-1截面，研究其右半部：0BM拉）(54PN（3）研究结点C：0Y压）(5PNDCABCPP033拉）(2PN1122Dn000000nF（2）作2-2截面，研究其右半部：03N作3-3截面，研究其左半部：0Y拉）(221PN（2）作1-1截面，研究其右半部：拉）(423PN0FM（1）研究结点A：0Y拉）(423PNAC0X拉）(41PNAE（3）研究结点C：0X拉）(222PN（4）研究结点G：0X拉）(211PN四、试求图示结构A点的竖向位移。qaBAEI五、试求图示结构B点的水平位移。Paaa)(2454EIqaAV22qa82qaa图PM图KMP=1）(3284EIqaBH24qaa2a22qa图KM图PMP=1EIEIEIAB