解三角形三类经典题型

解三角形三类经典类型类型一判断三角形形状类型二求范围与最值类型三求值专题类型一判断三角形形状例1：已知△ABC中,bsinB=csinC,且CBA222sinsinsin,试判断三角形的形状．解：∵bsinB=csinC,由正弦定理得sin2B=sin2C，∴sinB=sinC∴B=C由CBA222sinsinsin得222cba∴三角形为等腰直角三角形．例２：在△ABC中，若Ｂ=60，２b=a+c,试判断△ABC的形状.解:∵２b=a+c,由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B=60得sinA+sinC=3由三角形内角和定理知sinA+sin(A120)=3,整理得sin(A+30)=1∴A+60,9030A即,所以三角形为等边三角形.例3：在△ABC中，已知22tantanbaBA，试判断△ABC的形状．解：法1：由题意得BAABBA22sinsincossincossin，化简整理得sinAcosA=sinBcosB即sin2A=sin2B∴2A=2B或2A+2B=π∴A=B或2BA，∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形．法2：由已知得22cossincossinbaABBA结合正、余弦定理得2222222222babcacbbacbcaa，整理得0))((22222cbaba∴22222cbaba或即三角形为等腰三角形或直角三角形例4：在△ABC中，（1）已知sinA=2cosBsinC，试判断三角形的形状；（2）已知sinA=CBCBcoscossinsin，试判断三角形的形状．解：(1)由三角形内角和定理得sin(B+C)=2cosBsinC整理得sinBcosC－cosBsinC=0即sin(B－C)=0∴B=C即三角形为等腰三角形.(2)由已知得sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC，结合正、余弦定理得cbabcbaaacbcaa22222222，化简整理得0))((222cbcba∴222cba即三角形为直角三角形．例5：在△ABC中，（1）已知a－b=ccosB－ccosA，判断△ABC的形状．（2）若b=asinC,c=acosB,判断△ABC的形状．解：（1）由已知结合余弦定理可得bcacbcacbcacba22222222，整理得0))((222cbaba∴222cbaba或，∴三角形为等腰三角形或直角三角形（2）由b=asinC可知ABCabsinsinsin，由c=acosB可知acbcaac2222整理得222acb，即三角形一定是直角三角形，∠A=90，∴sinC=sinB∴∠B=∠C，∴△ABC为等腰直角三角形．例6：已知△ABC中，54cosA，且3:2:1)2(::)2(cba，判断三角形的形状．解：由题意令)0(32,2,2kkckbka，则23,2,2kckbka∵54cosA,由余弦定理得4k∴10,8,6cba∴222cba即△ABC为直角三角形．7.在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，ccbA22cos2，则△ABC的形状为______8.在ABC中，若tan2,tanAcbBb，则A=类型二求范围与最值1、在ABC中，角CBA、、所对的边分别为cba、、满足bcacb222，0BCAB,23a,则cb的取值范围是2、在△ABC中，AD为BC边上的高线，AD＝BC，角A，B，C的对边为a，b，c，则bc＋cb的最大值是________．解析因为AD＝BC＝a，由12a2＝12bcsinA，解得sinA＝a2bc，再由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc211(sin)22bcabcAcbbccb，得bc＋cb＝2cosA＋sinA，又A∈(0，π)，最大值为5解析几何或者几何法1解析几何法：,BC2,AB3,ABCACABC求面积的最大值。2几何法：3ABC，知道BC=4，AC=2，求B的范围。方程有解，利用判别式求范围。附例：4、已知ABC中，B=3,3b，且ABC有两解，则边a的取值范围是5、借力打力型求取值范围附例：钝角三角形中，3B，若最大边和最小边长的比为m，则m的取值范围是？+-33设钝角三角形的另外两个角是，6、已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是7、在△ABC中若2CB,则ABAC的取值范围8、已知ABC中，B=3,3b，且ABC有一解，则边a的取值范围是9、已知ABC中,,2,45axbB,若该三角形有两解,则x的取值范围是10、钝角三角形ABC的三边长为a,a+1,a+2(aN)，则a=11、在锐角ABC中，1BC，2BA，则AC的取值范围为.12、设ABC的内角A，B，C所对的边分别为cba,,，若三边的长为连续的三个正整数，且CBA，CA2，则CBAsin:sin:sin为BACacb14、在锐角三角形ABC中，BA2，则cbb的取值范围是)21,31(15、在锐角三角形ABC中，kbacS22)(，C既不是最大角，也不是最小角，求k值取值范围________.)90,45(,2tan4CCk，)4,424(k16.在钝角三角形ABC中，已知,2,1ba则c的取值范围为)3,5()3,1(类型三求值专题1、在△ABC中，若BC=5，CA=7，AB=8，则△ABC的最大角与最小角之和是.2、在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC＝________.3、在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝2，∠ADB＝135°，若AC＝2AB，则BD＝________.解析：∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，∴设b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k(k＞0)，解得a＝72k，b＝52k，c＝32k，∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3.答案：7∶5∶34、钝角三角形边长为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围是________．5、在△ABC中，已知a-b=4,a+c=2b且最大内角为1200，则a=.6、如果满足∠ABC＝60°，AC＝12，BC＝k的三角形恰有一个，那么k的取值范围是________．7、在△ABC中，若C＝30°，AC＝33，AB＝3，则△ABC的面积为________．解析：由正弦定理得：ABsinC＝ACsinB，sinB＝ACABsinC＝333·12＝32，所以B＝60°或120°.当B＝60°时，S△＝12AB×AC＝12·3·33＝932；当B＝120°时，S△＝12AB×AC·sin30°＝934.答案：932或9348、仅有一个等式作为方程求解时，注意整体思想，整体带入附例：在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若ba＋ab＝6cosC，则tanCtanA＋tanCtanB的值是____4____9海上有A、B两个小岛，相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60º的视角，从B岛望C岛和A岛成75º的视角；则B、C间的距离是海里.10．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测得该渔轮在方位角45º、距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角105º的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢。我海军舰艇立即以每小时21海里的速度前去营救；则舰艇靠近渔轮所需的时间是小时.11、在ABC中，若A＝600，23a，则23sin2sin3sinabcABC__________．412、在ABC中，三边a，b，c与面积s的关系式为2221(),4sabc则角C为.4513、在ABC中，在ABC中，若tan2,tanAcbBb，求A.解：由正弦定理知CRcsin2，Bbsin，BBCBBAAsinsinsin2cossincossin1sinsin2BCBCBABAsinsin21sincoscossin，BCABBAsinsin2cossin)sin(，BCABCsinsin2cossinsin，21cosA，3A.