多元函数极值的充分条件

多元函数极值的充分条件马丽君（集宁师范学院数学系）我们知道，一元函数()yfx在点0xx取得极值的充分条件是：函数()fx在点0x处具有一阶二阶连续导数，0x是()fx驻点，即0()0fx。若0()0(0)fx，则0x为()fx的极小值点（或极大值点）对于多元函数()YfX，其中12(,,,)nXxxx，有与上面一元函数取得极值的充分条件相对应的结论。定义1.设n元函数()YfX，其中12(,,,)nXxxx，对各自变量具有一阶连续偏导数，则称12,,,Tnfffxxx为()fX的梯度，记作gradf。引理设n元函数()fX，其中12(,,,)nXxxx，对各自变量具有一阶连续偏导数，则()fX在点000012(,,,)nXxxx取得极值的必要条件是：00112(),,,0TnnXXfffgradfXxxx证明：引理成立是显然的，即极值点函数可导，则该点的偏导数等于零。定义2.设n元函数()fX，对各自变量具有二阶连续偏导数，000012(,,,)nXxxx是()fX的驻点，现定义()fX在点0X处的矩阵为：222000211212222000202122222000212()()()()()()()()()()fNnnnfXfXfXXXXXXfXfXfXHXXXXXXfXfXfXXXXXX由于各二阶偏导数连续，即22(,1,2,,)ijjiffijnxxxx，所以0()fHX为实对称矩阵。定理设n元函数()fX，其中12(,,,)nXxxx，具有对各自变量的二阶连续偏导数，000012(,,,)nXxxx是()fX的驻点，则（1）当0()fHX正定时，000012(,,,)nXxxx是()fX的极小值点；（2）当0()fHX负定时，000012(,,,)nXxxx是()fX的极大值点；（3）当0()fHX不定时，000012(,,,)nXxxx不是()fX的极大值点证明：由()fX在点0X处的泰勒公式00000112212220020000011112221122000111220000221122212()()()()()()()()()1()[()()()]2()()()()()()()(nnnnnnfXfXfXfXXXXXXXfXfXfXXXXXXXXXXXXXfXXXXXXXfXfXXXXXXXXXX022200022220001112000222202021212120)()()()()()()()()()()()]()()1()2nnnnnnnnnnnnnTnnnnfnfXXXXXXXfXXXXXXXfXXXXXXXfXXXRXxxfXgradfXxxxxxxHXxnR其中，是其中0(1,2,,)iiiXXXin，nR比X高阶的无穷小对于驻点0X，由引理结果01()0ngradfX，则上述泰勒展开式又可写为：1201201()()()2nfnnxxfXfXxxxHXRx由此可见，当0()fHX正定时，在点0X的某去心邻域内就有0()()0fXfX，即0()()fXfX。故000012(,,,)nXxxx为()fX的极小值点。同理可知：当0()fHX负定时，000012(,,,)nXxxx为的极大值点：对0()fHX不定时情况，本文不再详细讨论。