叠加原理在解常微分方程中的应用

叠加原理在解常微分方程中的应用*郭军吴芸*常微分方程教学团队(09JXTD07);拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的探讨(编号:10KJ19)。收稿日期:2010－12－08通讯作者:郭军，[e-mail](九江学院理学院江西九江332005)关键词:叠加原理n阶线性常微分方程中图分类号:O175.1文献标识码:A文章编号:1674－9545(2011)01－0036－(02)叠加原理在物理现象中普遍存在，从而在反应物理现象的数学方程中也应是普遍适用．事实上，在常系数线性方程中叠加原理都是适用的．常微分方程中就有叠加原理．设x1(t)，x2(t)分别是非齐次线性微分方程x(n)(t)+ɑ1(t)x(n－1)(t)+…+ɑnx(t)=f1(t)(1)x(n)(t)+ɑ1(t)x(n－1)(t)+…+ɑnx(t)=f2(t)(2)的解，则x1(t)+x2(t)是方程x(n)(t)+ɑ1(t)x(n－1)(t)+…+ɑn(t)x(t)=f1(t)+f2(t)(3)的解．但是常微分方程的解决问题是否也有叠加原理未给予考虑，本文正是讨论此问题．首先我们考虑以下问题考虑二阶常微分方程定解问题－y+y=f(x)y(0)=ɑ，y＇(0){=b(4)为此，我们考虑以下三个问题－y+y=0y(0)=ɑ，y＇(0)={0(5)－y+y=0y(0)=0，y＇(0){=b(6)－y+y=f(x)y(0)=0，y＇(0)={0(7)【定理1】设u1(x)，u2(x)，u3(x)分别为定解问题(5)，(6)，(7)的解，则初值问题(4)的解为u(x)=u1(x)+u2(x)+u3(x)证明:直接验证可得结果．定解问题(6)是基本的，其他两个定解问题的解可以通过它的解表出．进一步有如下结果:【定理2】已知二阶常微分方程的定解问题－y+y=0y(0)=0，y＇(0)={1的解为y=Y(x)，则(5)，(6)，(7)的解u1(x)，u2(x)，u3(x)可分别表示为u1(x)=ɑY＇(x)(8)u2(x)=bY(x)(9)u3(x)=－∫0xf(t)Y(x－t)dt(10)证明:直接验证可得．对于n阶线性常微分方程的定解问题y(n)+y(n－1)+…+y=f(x)y(0)=1，y＇(0)=1，…，y(n－1)(0)={1(11)是否也有类似的结论呢?下面我们讨论这个问题．类似的分析以下n+1个问题y(n)+y(n－1)+…+y=0y(0)=0，y＇(0)=0，…，y(n－1)(0)={1(12)y(n)+y(n－1)+…+y=0y(0)=0，…，y(n－2)(0)=1，y(n－1)(0)={0……y(n)+y(n－1)+…+y=0y(0)=1，y＇(0)=0，…，y(n－1)(0)={0y(n)+y(n－1)+…+y=f(x)y(0)=0，y＇(0)=0，…，y(n－1)(0)={0假设他们的解依次为u0(x)，u1(x)，……，(总第92期)(SumNo.92)2011年第1期No.1，2011九江学院学报(自然科学版)JournalofjiujiangUniversity(naturalsciences)un(x)，笔者直接代入验证可得定解问题(11)的解为u(x)=u0(x)+u1(x)+…+un(x)还得到u1(x)，……，un(x)，与u0(x)的关系．【定理3】设定解问题(12)的解为Y(x)，则u1(x)，……，un(x)，可分别表示为u0(x)=Y(x)u1(x)=Y(x)+Y＇(x)……un－1(x)=Y(x)+Y＇(x)+……+Y(n－1)(x)un(x)=∫x0f(t)Y(x－t)dt证明:直接验证可得．如此可得问题(11)的解，从而叠加原理在一般的n阶微分方程定解问题也成立．(责任编辑胡安娜)(上接第15页)联合，共同培训企业职工，提高企业职工的文化素质和学历层次，取得了良好的效果;也可以聘请科研机构和大专院校退休的高级人才，担当企业的技术顾问和经济顾问，以充实企业的技术力量和管理水平。2.1.4加强企业经营管理企业的竞争最终是通过其产品来实现，化工企业作为产品的加工者或生产者，要使产品进入市场成为商品，改善经营管理是关键，对产供销要进行严密的组织和协调。企业管理的关键在于人，要提高劳动者特别是管理者的素质，大力开发人力资源是企业发展的头等战略，只有加速现代化管理步伐，才能将人力、技术、市场等要素有机地结合起来，避免化工企业目前存在的效益低下，管理混乱、产供销脱节现象。2.1.5保证技术创新资金的投入资金问题向来是企业发展中的重大问题。鄱阳湖区化工企业的发展，除了要依赖于投、融资体制的转换，更要调动银行、财政和整个社会对化工企业投资的积极性。对于一批技术先进、科技含量高、市场前景好的企业，政府应优先予以资金支持。在加大向优势企业提供资金的同时，应对企业进行股份制改造。一方面有利于明确企业产权，同时有利于吸引民间资本，解决资金不足的问题。2.2政府引导加快产业聚集，建立市级的湖口、彭泽医药化工产业园目前湖口医药化工类企业20家左右，彭泽医药化工类企业10多家。大多规模教小，将鄱阳湖区内的所有精细化工企业全部迁往湖口、或彭泽两个县。九江市在两个县划出大的区域建立市级的医药化工产业园。精细化工企业污染是绝对的，要做到循环经济对大多数在生死边缘挣扎的企业来说，只具有新闻意义。对那些，投资规模小，污染严重，财政贡献小的化工企业关、停、并、转，比如在九江县的赤湖产业园的部分小化工企业，政府应鼓励与湖口、彭泽的企业合并，搬迁到产业园里。2.3政府出资组建九江市精细化工创新平台以九江学院化工学院与鄱阳湖生态中心为基础，建立九江市精细化工技术中心，主要由研究室、分析测试中心、中试中心3个部分组成，应加强分析测试中心建设，需要九江市政府投入约在5000万。运行模式为企业与技术中心一起开发新产品，产权依据合同规定。企业应支持信任当地高校，给予适度的科研经费支持。不出钱就能获得技术支持是不现实的，报酬出低了就不一定能得到，知识是有价的，别人获得知识的过程是艰辛的。参考文献:［1］陶春元，占昌朝，付小兰，等．精细化工实验技术．北京:化学工业出版社，2009．(责任编辑李平)·73·2011年第1期郭军:叠加原理在解常微分方程中的应用