“杨辉三角”中的一些秘密

“杨辉三角”中的一些秘密二项式（a+b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3．．．时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角．杨辉《详解九章算法》中记载的表1.杨辉三角第5行1551第0行12.杨辉三角与二项系数第1行11第2行121第3行1331第4行141第6行161561第n-1行111nC121nC11rnCrnC121nnC第n行11nC12nC1nnC………………………………1520101064rnC见书P353.杨辉三角基本性质（1）表中每个数都是组合数，第n行的第r+1个数是)!(!!rnrnCrn．（2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是rnrnrnCCC111．（3）杨辉三角具有对称性（对称美），即rnnrnCC．（4）杨辉三角的第n行是二项式（a+b）n展开式的二项式系数，即nnrnCCn2n1n0CCC第5行1551第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行141第6行161561第n-1行111nC121nC11rnCrnC121nnC第n行11nC12nC1nnC………………………………1520101064rnC再探杨辉三角121_______()rrrrrrrnCCCCnr311410_____nC根据你发现的规律，猜想下列数列的前若干项的和：11123_____nC21136_____nC2nC1rnC3nC4nC一般地，1111123121nnCrCCCC当时，2222234132nnCrCCCC当时，3333345143nnCrCCCC当时，见书P364.横看杨辉三角中各行数字第1行1＋1＝2第2行1＋2＋1＝4＝22第3行1＋3＋3＋1＝8＝23第4行1＋4＋6＋4＋1＝16＝24第5行1＋5＋10＋10＋5＋1＝32＝25．．．第n行nnnnnrnnnnCCCCCC21210(1)第n行数字的和为2n．(2)前n行(含第0行)所有数的和为2n+1–1性质14.横看杨辉三角中各行数字二看：4，8，16，…各行数字有何特点？一看：1，3，7，15…各行数字有何特点？三看：2，3，5，7，11…各行数字有何特点？1、第1，3，7，15，…这些行即2k-1（k是正整数）行的各个数字均为奇数，2k行除两端的1之外都是偶数。2、当行数P是质数（素数），除去两端的数字1以外，行数P整除其余所有的数。性质25.斜看杨辉三角中各行数字的和从杨辉三角中一个确定的数的“左（右）肩”出发，向右（左）上方作一条和左斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和等于这个数.根据这一性质，猜想下列数列的前n项和：1＋1＋1＋．．．＋1＝（第1条斜线）1＋2＋3＋．．．＋11nC＝（第2条斜线）1＋3＋6＋．．．＋21nC＝（第3条斜线）1＋4＋10＋．．．＋31nC＝（第4条斜线）．．．rnrrrrrrCCCC121（第r+1条斜线）5.斜看杨辉三角中各行数字的和一般地，在第m条斜线上（从右上到左下）前n个数字的和，等于第m+1条斜线上的第n个数．性质32nC1rnC3nC4nC1nC第6行1615201561第4行14641第5行15101051第3行1331第7行172135352171第1行11第0行1第2行121……第8行182856705628815.斜看杨辉三角中各数的和1，1，2，3，5，8，13，21，34，…此数列{an}满足,a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2(n≥3)这就是著名的斐波那契数列．世事洞明皆数学，留心处处是文章。性质4中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．6.杨辉三角与“纵横路线图”“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处(只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？AB由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系704870C＝7.杨辉三角与弹子游戏在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球(黑色)向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品高于中间区奖品？答：两边的概率要比中间小。类似于一个三角形，中间掉的概率高。商家当然是要把钱多的给少的了！放在中间岂不是对不起自己么！（见书P70－高尔顿板）8.成果展示1、杨辉三角的第n行数字的和为2n。前n行（含第0行）所有和为2n-1，它恰好比第n行的和2n小1；2、杨辉三角的第1，3，7，15，…行，即第2K-1（k是正整数）行的各个数字均为奇数。3、当行数P是质数（素数），除去两端的数字1以外，行数P整除其余所有的数。4、一般地，在第m条斜线上（从右上到左下）前n个数字的和，等于第m+1条斜线上的第n个数．5、数列{an}满足,a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2(n≥3)这就是著名的斐波那契数列．9.方法总结1、运用了联系、类比的观点看问题；2、运用了从特殊到一般的归纳猜想与证明的思想方法；3、学会从多角度看问题:“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”；4、锤炼发现问题、提出问题、解决问题的能力。课外研究性作业：除了以上性质（蕴含的）数字之外，还有哪些好的性质？第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051………………1、（04.上海春季高考）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14与第15个数的比为2：33410.链接高考2、如图，它满足：（1）第n行首尾两数均为n，（2）表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行（n≥2）第2个数.第1行1第2行22第3行343第4行4774第5行51114115第6行6162525166………………222nn11(2)nnnnaannaan12(1)(2)2312nnnaan3、（2006年湖北卷）将杨辉三角中的每一个数rnC都换成分数rnCn11，就得到一个如右图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.从莱布尼茨三角形可以看出rnxnrnnCCnCn111111，其中x=____.令22111160130112131nnnCnnCa，则na22101223223451111111131230601111111346151121nnnnnnnnnnCnCCCCCanCCCnn－r+1