1.2.2组合(第一-二课时)

1.2.2组合问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？236A甲、乙；甲、丙；乙、丙3情境创设从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,并成一组问题2从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列.问题1排列组合有顺序无顺序一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．排列与组合的概念有什么共同点与不同点？概念讲解组合定义:组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．排列定义:一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”不同点:排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.概念讲解思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?１）元素相同；２）元素排列顺序相同.元素相同概念理解构造排列分成两步完成，先取元素后排序；而构造组合就是其中一个步骤.思考三:组合与排列有联系吗?判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?有多少种不同的火车票价？组合问题排列问题(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法?组合问题(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?组合问题(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法?组合问题(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?排列问题组合问题组合是选择的结果，排列是先选择再排序的结果.1.从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:2.已知4个元素a,b,c,d,写出每次取出两个元素的所有组合.abcdbcdcdab,ac,bc(3个)ab,ac,ad,bc,bd,cd(6个)概念理解从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.mnC233C246C如:从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是:如:从4个元素a、b、c、d中,每次取出两个元素的所有组合个数是：概念讲解组合数:注意：是一个数，应该把它与“组合”区别开来．mnC1.写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有组合。abc，abd，acd，bcd.bcddcbacd练一练组合排列abcabdacdbcdabcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb不写出所有组合，怎样才能知道组合的个数？你发现了什么?可分两步考虑：求P34PPC33343434A求可分两步考虑：344C第一步，（）个；336A第二步，（）个；333.434CAA根据分步计数原理，334343ACA从而mnC如何计算:组合数公式排列与组合是有区别的，但它们又有联系．一般地，求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以分为以下两步：nm第1步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数．mnCnm第2步，求每一个组合中个元素的全排列数．mmAm根据分步计数原理，得到：mmmnnmA=CA因此：121!mmnnmmnnnnmACAm这里，且，这个公式叫做组合数公式．*Nnm、nm概念讲解组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAm从n个不同元中取出m个元素的排列数mmmnmnCAA!!()!mnnCmnm01.nC我们规定：概念讲解例1计算：⑴47C⑵710C32(3),nnnCA已知求．例题分析(4)求38-n3n3n21+nC+C的值.例211:.(256mmnnmPnmCC求证练习）,!!:）（！证明mnmnCmn)!1()!1(!111mnmnmnmmnmCmn)!1)((!)!1(1mnmnnmm.!)(!!Cmnmnmn知识要点4组合的两个性质性质1性质2mn-mnnC=C.mmm-1n+1nnC=C+C.例3：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。问：（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？1117(1)C=123761111711(2)CC=136136例4.课本例7(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？例题分析210(1)45C210(2)90A例5.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛(1)列出所有各场比赛的双方；（2)列出所有冠亚军的可能情况.（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙(1)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：例6.(1)凸五边形有多少条对角线？(2)凸n（n3）边形有多少条对角线？210(1)540C2(2)nCn课堂小结l、组合的概念；2、组合与排列的区别与联系；3、组合数公式；性质4、组合的应用：分清是否要排序.例7：在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时,从100件产品中任意抽出3件。(1)一共有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。选人问题：变式练习按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；323936CC0539126CC1419126CC1439378CC231405393939(5)756CCCCCC方法一：5321239756CCC方法二：322314393939(6)666CCCCCC方法一：5051239666CCC方法二：选人问题：例8、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现要派5人参加支边医疗队，至少要有1名内科医生和1名外科医生参加，有多少种选法？55520812CCC例9:某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语与日语的各1人,有多少种不同的选法？解：由于7＋3=10＞9，所以9人中必有1人既会英语又会日语．(1)从只会英语的6人中选1人，只会日语的2人中选1人，有N1=6×2=12(2)既会英语又会日语的那位选定，其余8人中选1人，有N2=1×8=8由分类计数原理得N=N1+N2=20.选人问题：课堂练习：2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为。32328778.()()ACCCC32328778.()()BCCCC32328778.CCCCC3218711.DCCC3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数为（）4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（）2353.ACA3353.2BCA35.CA233535.2DCAA1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有种。99CD例1：∠A的一边AB上有4个点,另一边AC上有5个点,连同∠A的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成多少个三角形?解：方法1:把可构成的三角形可分成两类:第一类，含点A的有个；第二类，不含点A的，又分为在AB上取两点在AC上取一点，和在AB上取一点AC上取两点，共有个.1145CC25141524CCCC与立体图形有关的问题：根据加法原理，共可构成三角形的个数为90CCCCCC251415241514方法2:不考虑可否成为三角形，从这10个中点任取3个点共有种方法,但仅在AB上或AC上任取3个点不能构成三角形，共有种方法,因此可构成三角形的个数为310C3635CC90CCC3635310例1：∠A的一边AB上有4个点,另一边AC上有5个点,连同∠A的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成多少个三角形?例2.四面体的顶点和各棱的中点共10个点。（1）设一个顶点为A，从其他9点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有多少种？（2）在这10点中取4个不共面的点，不同的取法有多少种？ABCDEFGMNP与立体图形有关的问题：1.（2009湖北卷文）从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有_____.A.120种B.96种C.60种D.48种高考链接C2.（2009湖南卷文）某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为_____.A．14B．16C．20D．48B由间接得，故选B.321624C-C*C=163.（2009全国卷Ⅰ文）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有_____.A.150种B.180种C.300种D.345种D本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题2.选择（1）从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有（）A480种B240种C180种D120种（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有().A.140种B.84种C.70种D.35√√（1）课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法?①只有一名女生;②两队长当选;③至少有一名队长当选;④至多有2名女生当选;⑤既要有队长，又要有女生当选.3.解答题1458C*C=350.23211C*C=165.1423211211C*C+C*C=825.551311C-C=825.④至多有两名女生含有三类：有2名女生、只有一名女生、没有女生.故选法为：⑤分两类：第一类女队长当选：第二类女队长不当选：故选法共有：2314558588C*C+C*C+C=686.412C13223144747474C*C+C*C+C*C+C.41322314124747474C+C*C+C*C+C*C+C=790.④至多有2名女生当选;⑤既要有队长，又要有女生当选排列组合组合的概念组合数的概念组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果联系课堂小结