幂函数的图像与性质教案与练习

1幂函数的图像与性质【知识整理】1、幂函数的定义一般地，形如yx（xR）的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数.如11234,,yxyxyx等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.注意：yx中，前面的系数为1，且没有常数项。2、幂函数的图像（1）yx（2）12yx（3）2yx（4）1yx（5）3yxyx2yx3yx12yx1yx定义域RRR|0xx|0xx奇偶性奇偶奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限单调增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减定点（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）23、幂函数的性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x）；（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[上是增函数．特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸；（3）0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴。3基础训练：1.下列函数是幂函数的是()A．y＝5xB．y＝x5C．y＝5xD．y＝(x＋1)32.已知函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，则m=________，n=_________.3.已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(9，3)，则f(100)＝________．4.下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是()A．y＝xB．y＝x2C．y＝x3D．y＝x125.下列函数中，定义域为R的是()A．y＝x－2B．y＝x12C．y＝x2D．y＝x－16.函数y＝x53的图象大致是()7.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是()A．y＝x－2B．y＝x－1C．y＝x2D．y＝x138.函数y＝x－2在区间[12，2]上的值域为________．9.设α∈{－1，1，12，3}，则使y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值组成的集合为________．例题精析：例1.如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图象．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为______________变式训练：幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个4“卦限”：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧(如图所示)，那么幂函数y＝x12的图象经过的“卦限”是___________.例2．比较下列各组数的大小：(1)和3.1－52；(2)－8－78和－(19)78；(3)(－23)－23和(－π6)－23；(4)4.125，3.8－23和(－1.9)－35.变式训练：用“”或“”填空：(1)(23)12________(34)12；(2)(－23)－1________(－35)－1；(3)(－2.1)37________(－2.2)－37.例3已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x12(1－4t－t2)是偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，求函数解析式．5变式训练：若函数f(x)＝(m2－m－1)x－m＋1是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上是减函数，求实数m的取值范围.课后作业：1.若幂函数f(x)的图象经过点(2，14)，则f(12)＝________．2.设α∈{－1，1，12，3}，则使幂函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为_________.3.幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，18)，则满足f(x)＝－27的x值等于________．4.函数y＝ax－2(a＞0且a≠1，－1≤x≤1)的值域是[－53，1]，则实数a＝__________5.比较下列各组中两个值的大小：(1)1.535与1.635；(2)0.61.3与0.71.3；(3)3.5－23与5.3－23；(4)0.18－0.3与0.15－0.3.6.设a＝(25)35，b＝(25)25，c＝(35)25，则a，b，c的大小关系是_______________67.已知函数y＝x23.(1)求定义域；(2)判断奇偶性；(3)已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间．8.已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－m3(3－2a)－m3的a的取值范围．9.点(2，2)与点(－2，－12)分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有(1)f(x)g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)g(x)?786422468105510【题目】如果幂函数y=f（x）的图像经过点（2，4），则f（3）=【题目】下列命题中，正确命题的题号为①幂函数的图像都经过点（1，1）②图像经过点（−1，1）的幂函数是偶函数③幂函数的图像不经过第四象限④当n=0时，函数y=xn的图像是一条直线⑤当n0时，函数y=xn在定义域内为减函数【题目】研究幂函数23()fxx的性质（1）指出f（x）的定义域和值域；（2）指出并证明f（x）的奇偶性和单调性；（3）画出f（x）的图像。【解答】（1）定义域为Rx，值域为),0[y（2）偶函数，在]0,(单调减，在),0[单调增（3）【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的图像与性质，解答题，中，分析问题解决问题【题目】解不等式2233(2)(12)xx【解答】3x或31x【属性】高三，幂函数的图像与性质，恒成立，解答题，难，分析问题解决问题【题目】已知偶函数223()mmfxx在（0，+∞）上是减函数（其中m为整数），（1）求m的值；8（2）若函数axafxfaxh3)()]([)(2的值恒为负数，求a的取值范围。【解答】（1）m=1（2）03a【课堂反馈】【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的概念，填空题，易，运算【题目】幂函数()fx的图像过点43,27)（，则()fx的解析式是_____________新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆【解答】(),fxx43,27)图象过点（，34433273,4【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的图像与性质，选择题，易，逻辑思维【题目】7．下列命题中正确的是（）A．当0a时函数ayx的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C．若幂函数ayx是奇函数，则ayx是定义域上的增函数D．幂函数的图象不可能出现在第四象限【解答】D解析：A中0yx（0x）图象是一条直线上去掉点（0，1）；B中幂函数ayx当0a时，图像不经过（0，0）点；C中1yx不是定义域上的增函数。【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的图像，选择题，易，逻辑思维【题目】函数3xy和31xy图象满足（）A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于直线xy对称【解答】D【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的图像与性质，解答题，中，运算【题目】解不等式5533(2)(12)xx【解答】),21()31,2(x【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的图像与性质，解答题，中，分析986422468105510问题解决问题【题目】已知幂函数221(732)5(1)()ttyttxtZ为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数（1）求整数t的值；（2）作出这个幂函数的图像。【解答】（1）t=1（2）【课堂小结】1.幂.函数的概念:y=xk（k为常数，kQ）2.幂函数y=xk的图像与性质先画出第一象限图像，其它象限由幂函数性质定【课后作业】【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的图像，填空题，易，逻辑思维【题目】当α∈－1，12，1，3时，幂函数xy的图象不可能经过第________象限．【解答】当x0时，y0，故不过第四象限当x0时，y0或无意义．故不过第二象限．综上，不过二、四象限．也可画图观察．答案：二、四【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的概念，选择题，易，逻辑思维【题目】)1(,,)1(,1,4,)21(,2522aayxyxyxyxyyxyxx上述函数是幂函数的个数是（）A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆0个B新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆1个C新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆2个D新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆3个【解答】C【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的图像，选择题，易，逻辑思维1086422468105510【题目】若四个幂函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx在同一坐标系中的图象如右图，则a、b、c、d的大小关系是（）A．d＞c＞b＞aB．a＞b＞c＞dC．d＞c＞a＞bD．a＞b＞d＞c【解答】B【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的图像，选择题，易，逻辑思维【题目】函数34xy的图象是（）A．B．C．D．【解答】A【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的图像与性质，填空题，中，逻辑思维【题目】幂函数),*,,,()1(互质nmNknmxymnk图象在一、二象限，不过原点，则nmk,,的奇偶性为.【解答】km,为奇数，n是偶数【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的图像与性质，解答题，中，分析问题解决问题【题目】画出下列函数的大致图像并指出函数的性质：2()(||1)fxx【解答】偶函数单调增区间)1,(、)1,0(单调减区间)0,1(、),1(值域),0(y11【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的概念，解答题，中，运算【题目】已知函数f(x)＝(m2－m－1)·x-5m-3，m为何值时，(1)是正比例函数；(2)是反比例函数；(3)是二次函数；(4)是幂函数．【解答】(1)若f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1，解得m＝－45，此时m2－m－1≠0，故m＝－45.(2)若f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1，则m＝－25，此时m2－m－1≠0，故m＝－25.(3)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1，(4)若f(x)是幂函数，则m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.综上所述，(1)当m＝－45时，f(x)是正比例函数．(2)当m＝－25时，f(x)是反比例函数．(3)当m＝－1时，f(x)是二次函数．(4)当m＝2或m＝－1时，f(x)是幂函数．【属性】高三，幂函数的图像与性质，幂函数的图像与性质，解答题，难，分析问题解决问题【题目】函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象的示意图如图所示，