高中数学--平面的基本性质课件

1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章立体几何初步知识点一考点一考点二知识点二知识点三考点三教室里的课桌面、黑板面、玻璃平面等都给我们平面的形象，几何里的平面与这些平面形象相比，有何特点？问题1：生活中的平面有大小之分吗？其“平”是相对的还是绝对的？提示：有大小之分，相对的．问题2：几何中的“平面”是怎样的？提示：抽象出来的，绝对平，无大小、厚薄之分．1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是的．无限延展2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个，它的锐角通常画成，且横边长等于其邻边长的．如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用画出来．如图②.平行四边形2倍虚线45°3．平面的表示法图①的平面可表示为、、或.平面α平面ABCD平面AC平面BD位置关系符号表示(1)点A在直线a上(2)点A不在直线a上(3)点A在平面α内(4)点A不在平面α内A∈aA∉aA∈αA∉α位置关系符号表示(5)直线a在平面α内(6)直线a不在平面α内(7)直线a与直线b相交于点P(8)平面α与平面β相交于直线la⊂αa⊄αa∩b＝Pα∩β＝l观察下列图片：问题1：把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺边缘上的其余点和桌面有何关系？提示：在桌面上．问题2：为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚？提示：两车轮与一只撑脚在同一平面上．问题3：两张纸面相交有几条交线？提示：一条．1．平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的在一个平面内，那么两点这条直线上的所有点都在这个平面内⇒AB⊂αA∈αB∈α公理内容图形符号公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是的一条直线经过这个公β＝l且P∈l.P∈αP∈β⇒α∩共点公理内容图形符号公理3经过有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α不在同一条直线上的三点2.公理3的推论推论内容图形推论1经过一条直线和这条的一点，有且只有一个平面推论2经过两条直线，有且只有一个平面推论3经过两条直线，有且只有一个平面直线外相交平行1．对几何中平面的理解要注意以下几点(1)平面是平的；(2)平面没有厚度；(3)平面可无限延展且没有边界；(4)平面是由空间点、线组成的无限集合；(5)平面图形是空间图形的重要组成部分．2．可从集合的角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可看作无数个点组成的集合，故点与线的关系是元素和集合之间的关系，用“∈”或“∉”表示．(2)平面也可看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(3)直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．图(1)可以用几何符号表示为_______________________．图(2)可以用几何符号表示为________________________．[思路点拨]根据点、线、面之间三种语言的转换可表示．[精解详析](1)α∩β＝AB，a⊂α，b⊂β，a∥AB，b∥AB.(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B，A∉l，B∉l.[一点通]集合中“∈”的符号只能用于点与直线、点与平面的关系，“⊂”和“∩”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借助于集合符号，但在读法上仍用几何语言．1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为_______．答案：A∈l，l⊄α2．根据下列条件画出图形：平面α∩平面β＝MN，△ABC的三个顶点满足条件A∈MN，B∈α，B∉MN，C∈β，C∉MN.解：如图，已知直线m与a，b分别交于A、B，且a∥b.求证：直线a，b，m共面．[思路点拨]由a∥b确定平面α，由此得A∈α，B∈α，从而证明m⊂α.[精解详析]∵a∥b∴过a，b确定平面α∵m∩a＝A，m∩b＝B∴A∈a，B∈b.∴A∈α，B∈α.∴AB⊂α，即m⊂α.∴直线a，b，m共面．[一点通]证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理3，及其推论，常用方法有(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．3．(2012·福州高一检测)下列说法错误的序号是______．①三点可以确定一个平面②一条直线和一个点可以确定一个平面③四边形是平面图形④两条相交直线可以确定一个平面解析：①错误．不共线的三点可以确定一个平面；②错误．一条直线和直线外的一个点可以确定一个平面．③错误．四边形不一定是平面图形．④正确．两条相交直线可以确定一个平面．答案：①②③4．已知：AB，BC，AC是△ABC三边所在的直线．求证：直线AB，BC，AC共面．证明：如图所示．由已知AB∩BC＝B，所以过直线AB，BC有且只有一个平面α，∵AB∩AC＝A，BC∩AC＝C，∴A∈α，C∈α，故AC⊂α，即直线AB，BC，AC共面.如图，不在同一平面内的两个三角形△ABC和△A1B1C1，AB与A1B1相交于P，BC与B1C1相交于Q，AC与A1C1相交于R，求证：P、Q、R三点共线．[思路点拨]利用公理2可证，即创设两相交平面，证点在交线上即可．[精解详析]∵AB∩A1B1＝P，∴P∈AB，P∈A1B1.∵AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.又∵A1B1⊂平面A1B1C1，∴P∈平面A1B1C1.∴P在平面ABC与平面A1B1C1的交线上．同理可证Q、R也都在平面ABC与平面A1B1C1的交线上．根据公理3知两个平面的交线有且只有一条，故P、Q、R三点共线．[一点通]证明点共线的思路是构造相交平面，证明点在相交平面的交线上，即由公理2可得结论．5.如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β，求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．∴AB，CD必定相交于一点，设AB∩CD＝M.又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，且M∈β.∴M∈α∩β.又∵α∩β＝l，∴M∈l，即AB，CD，l共点．6.已知△ABC在平面α外，它的三边所在直线分别交α于P，Q，R，求证：P，Q，R三点共线．证明：∵A，B，C为α外的三点，∴△ABC所在的平面β与平面α不重合．∵P＝AB∩α，∴P为平面α与β的公共点，同理可证：R，Q也是平面α与β的公共点，由公理2知，P，Q，R三点共线．1．三种语言的相互转换是一种基本技能，要注意符号语言的意义；由符号语言画相应图形时，要注意实虚线．2．三个公理的作用(1)公理1反映了平面与曲面的区别，它是判断直线在平面内的依据，也是证明点在平面内的依据．(2)公理2反映了平面与平面的位置关系，它是判断两个平面相交的依据，是证明点共线的依据，也是证明线共点的依据．(3)公理3及其推论，是确定一个平面的依据，是判断两个平面重合的依据，也是证明点、线共面的依据．