几个常用函数的导数习题

[学业水平训练]1．y＝3x2的导数是()A．3x2B．13x2C．－12D．233x解析：选D．∵y＝3x2＝x23，∴y′＝23x－13＝233x.2．函数y＝sin(x＋π2)的导数为()A．y′＝－cos(x＋π2)B．y′＝cosx－sinxC．y′＝－sinxD．y′＝cosx解析：选C．∵y＝sin(x＋π2)＝cosx，∴y′＝－sinx.3．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为()A．1B．2C．eD．1e解析：选A.由条件得y′＝ex，根据导数的几何意义，可得k＝y′|x＝0＝e0＝1.4．过曲线y＝1x上一点P的切线的斜率为－4，则P的坐标为()A．(12，2)B．(12，2)或(－12，－2)C．(－12，－2)D．(12，－2)解析：选B.因为y′＝－1x2，令－1x2＝－4，得x＝±12，P的坐标为(12，2)或(－12，－2)，故选B.5．(2014·黄冈高二检测)若曲线y＝x－12在点(a，a－12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于()A．64B．32C．16D．8解析：选A.∵y′＝－12·x－32，∴y′|x＝a＝－12·a－32，∴在点(a，a－12)处的切线方程为y－a－12＝－12·a－32·(x－a)．令x＝0，得y＝32a－12，令y＝0，得x＝3a，∴12×3a×32a－12＝18，解得a＝64.6．曲线y＝lnx在点M(e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________．解析：∵y′＝(lnx)′＝1x，∴y′|x＝e＝1e.∴切线方程为y－1＝1e(x－e)，即x－ey＝0.答案：1ex－ey＝07．已知函数f(x)＝1x，且f′(a)－f(a)＝－2，则a＝________.解析：f(x)＝1x，所以f′(x)＝－1x2，f′(a)－f(a)＝－1a2－1a＝－2.即2a2－a－1＝0，解得a＝1或a＝－12.答案：1或－128．(2014·忻州高二检测)与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝x相切的直线方程是________．解析：∵直线2x－y－4＝0的斜率为k＝2，又∵y′＝(x)′＝12x，∴12x＝2，解得x＝116.∴切点的坐标为(116，14)．故切线方程为y－14＝2(x－116)．即16x－8y＋1＝0.答案：16x－8y＋1＝09．求下列函数的导数：(1)y＝xx；(2)y＝1x4；(3)y＝5x3；(4)y＝log2x2－log2x；(5)y＝－2sinx2(1－2cos2x4)．解：(1)y′＝(xx)′＝(x32)′＝32x32－1＝32x.(2)y′＝(1x4)′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－4x5.(3)y′＝(5x3)′＝(x35)′＝35x35－1＝35x－25＝355x2.(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝1x·ln2.(5)∵y＝－2sinx2(1－2cos2x4)＝2sinx2(2cos2x4－1)＝2sinx2cosx2＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.10．在曲线y＝4x2上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°.解：设P点坐标为(x0，y0)，∵y′＝－8x－3，∴y′|x＝x0＝－8x－30＝tan135°＝－1，即8x－30＝1，∴x0＝2.将x0＝2代入曲线方程得y0＝1，∴所求P点坐标为(2,1)．[高考水平训练]1．(2014·望江高二检测)直线y＝12x＋b是曲线y＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b的值为()A．2B．ln2＋1C．ln2－1D．ln2解析：选C．∵y＝lnx的导数y′＝1x，∴令1x＝12，得x＝2，∴切点为(2，ln2)．代入直线y＝12x＋b，得b＝ln2－1.2．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2014(x)＝________.解析：由已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…依次类推可得，f2014(x)＝f2(x)＝－sinx.答案：－sinx3．过原点作曲线y＝ex的切线，求切点的坐标及切线的斜率．解：∵(ex)′＝ex，设切点坐标为(x0，ex0)，则过该切点的直线的斜率为ex0，∴所求切线的方程为y－ex0＝ex0(x－x0)．∵切线过原点，∴－ex0＝－x0·ex0，x0＝1.∴切点为(1，e)，斜率为e.4．已知直线x＋2y－4＝0与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的AOB上求一点P，使△APB的面积最大．解：因为|AB|为定值，所以要使△APB的面积最大，只要点P到AB的距离最大，只要点P是抛物线的平行于AB的切线的切点即可．设P(x，y)，由图知，点P在x轴下方的图象上，所以y＝－2x，所以y′＝－1x.因为kAB＝－12，所以－1x＝－12，x＝4.由y2＝4x(y＜0)，得y＝－4，所以P(4，－4)．