等比数列前N项和的性质

2.5.2等比数列的前n项和的性质。，11)1(111q-qqaqnaSnn1、等比数列前n项和公式:。，11111q-qqaaqnaSnn或2、数学思想：分类讨论，整体代入法。3、两个求和方法：(1)分组转化求和法；(2)错位相减求和法；)(1112项和为的前，，，，，、数列naaanaaAn11.aaBn11.1以上均不正确.DDaaCn11.1naaan-......2-1-.22求和等比数列前n项和的性质一：-qqaaSnn111-qaq-qaSnn1111011-qaA令AAqSnn-则：这个形式和等比数列等价吗？)0,1,0(-qqAAAqSnn是等比数列数列}{na相反数的值。，求项和的前、若等比数列aaSnannn2311}{61a的值。，求项和的前、若等比数列aaSnannn41}{1a)0(AAAqSnn-系数和常数互为相反数提示：aSnn2331化简到：0231a我们知道，等差数列有这样的性质：也成等差数列。则为等差数列如果kkkkknSSSSSa232,,，。公差为新的等差数列首项为dkSk2，等比数列前n项和的性质二：那么，在等比数列中，也有类似的性质吗？也成等比数列。为等比数列如果kkkkknSSSSSa232,,，则。公比为新等比数列首项为kkqS，怎么证明？已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求S30.例2【思路点拨】法一：设公比为q→根据条件列方程组→解出q→代入求S30法二：根据题意S10，S20－S10，S30－S20成等比数列→S10＝10，S20＝30→S30【解】法一：设公比为q，则a11－q101－q＝10①a11－q201－q＝30②②①得1＋q10＝3，∴q10＝2，1011qa∴S30＝a11－q301－q＝70.法二：∵S10，S20－S10，S30－S20仍成等比数列，又S10＝10，S20＝30，∴S30－S20＝S30－30＝30－10210，即S30＝70.的值。求，，若项和为的前、等比数列69363}{2SSSSSnann。，则，，若项和为的前、等比数列3020108020}{1SSSSnann2603、任意等比数列，它的前n项和、前2n项和与前3n项和分别为X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是（）DYX2ZA.XZZZYY.BXZYC2.XZXXYY.DqSS奇偶等比数列前n项和的性质三：怎么证明？等比数列前n项和的性质四：：、，有对的等比数列为公比为如果NpmqanpmmpmSqSS项，则：共有若等比数列nan2。项和为的前则，且的公比为、若等比数列100}{,6031}{49931nnaaaaa8031qSSn奇偶项和性质知：由等比数列前解：609931aaaS奇令10042aaaS偶偶奇则SSS10020偶S80100奇偶即：SSS5、已知一个等比数列其首项是1，项数是偶数，所有奇数项和是85，所有偶数项和是170，求此数列的项数？提示：285170奇偶SSq25585170奇偶SSSn项和公式得：由等比数列前n2121255-n8n)0(AAAqSnn-是等比数列数列}{na等差数列前n项和的性质：也成等比数列。为等比数列kkkkknSSSSSa232,,。公比为且新等比数列首项为kkqS，qSS奇偶：、，有对的等比数列为公比为如果NpmqanpmmpmSqSS项，则：共有若等比数列nan2①②③④书上第62页，习题2.5B组，第2题、第5题。。及公比，求项和前，，中，、在等比数列qnSnaaaaannnn126128665121}{解：128121nnaaaa661naa又有两式联立解得：26464211nnaaaa或。显然，1q例3、等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，求S4.[提示]本题应用等比数列的性质求S4更简捷．[解]法一：∵S2＝7，S6＝91，易知q≠1，∴a11＋q＝7，a11－q61－q＝91.∴a11＋q1－q1＋q2＋q41－q＝91.∴q4＋q2－12＝0.∴q2＝3.∴S4＝a11－q41－q＝a1(1＋q)(1＋q2)＝7×(1＋3)＝28.∴S4＝28.法二：设数列{an}的公比为q，∵S2＝7，S6＝91，∴a1＋a2＝7，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝91.∴a1＋a2＝7，7＋7q2＋7q4＝91.∴q4＋q2－12＝0.∴q2＝3.∴S4＝a11－q41－q＝a1(1＋q)(1＋q2)＝7(1＋3)＝28.法三：∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列．即7，S4－7,91－S4成等比数列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)．解得S4＝28或－21.∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝7(1＋q2)＞0，∴S4＝28.