伯努利方程

2.2.1伯努利方程的推导2.2伯努利方程及其应用2.2.2伯努利方程的应用(重点)•质量流量守恒：流体作定常流动时，流管中各横截面的质量流量相等。•体积流量守恒：理想流体作定常流动时，流管中各横截面的体积流量相等。截面大处流速小，截面小处流速大。常量vS连续性方程(复习)常量vS•连续性方程：•原理：质量守恒定律条件：理想流体、定常流动描述：流速v和横截面积S之间的关系结论：Q=Sv=常量•伯努利方程：•原理：能量守恒定律条件：理想流体、定常流动描述：流速v，高度h和压强p之间的关系结论：？？？在短时间Δt(Δt→0)内，流体XY移至X´Y´XF11h1S1YS22F2h2X′Y′1t2tp1p2*以流管中XY段的理想流体为研究对象根据功能原理推导伯努利方程外力的总功=机械能增量2.2.1伯努利方程的推导在短时间Δt(Δt→0)内，流体XY移至X´Y´A=p1S11Δt-p2S22ΔtXF11h1S1YS22F2h2X′Y′1t2t外力的总功：p1p2动能的增量：2112222121mmEK121122mghmghghmghmEP势能的增量：S11Δt=S22Δt=Vm1=m2=m*以流管中XY段的理想流体为研究对象=p1V-p2V21222121vvmm根据功能原理:122122212121mghmghmmVpVp222212112121ghpghpconstant212ghppkEEA222212112121mghmVpmghmVpvvX、Y两截面在流管中的位置选取上是任意的对任意截面有单位体积流体的动能常量ghp221221单位体积流体的重力势能gh静压强单位体积流体的压强能p—动压强疑问2：p为何称为单位体积的压强能？疑问1：p为压强，另外两项为能量，量纲不一致？常量ghp221221的单位：gh静压强p—动压强常量mghmpV221v223smmkg22smmkg2mN的单位：msmmkg2322smmkg常量VghVpV221vV等于一个单位体积(如1m3)时，…p的单位：32mmNmN伯努利方程的结论•前提：理想流体做定常流动（同一流管内）•结论：在作定常流动的理想流体中，同一流管的不同截面处，每单位体积流体的动能、势能、压强能之和为一常量。即：常量ghp221v压强、流速和高度的关系【例题1】设有流量为0.12m3/s的水流过如图所示的管子。A点的压强为2×105Pa，A点的截面积为100cm2，B点的截面积为60cm2。假设水的粘性可以忽略不计，求A、B两点的流速和B点的压强。Bv由连续性方程QSSBBAAvv得解：水可看作不可压缩的流体smSQAA121012.02vsmSQBB20106012.04v由伯努利方程得BBBAAAghpghp222121vvABBAABhhgpp222121vvPa42251024.528.910002010002112100021102Bv1压强和流速的关系及举例（水平管）2压强和高度的关系及举例（均匀管）3伯努利方程的解题思路2.2.2伯努利方程的应用1.压强和流速的关系条件：水平管常量221vp结论：流速小的地方压强大，流速大的地方压强小。2222112121vvpp压强和流速的关系应用举例1)空吸现象2)汾丘里流量计3)皮托管水流抽气机21喷雾器空吸现象S1S2→v1v2→p1p2p2p0→空吸现象汾丘里流量计2222112121ppS1S2△h∵∴2211SS1v222121112SShgSSSQ流体的流量：hgpp21p2p1υ1222122SShgS气体流量计2222112121pp∵∴2211SS)(2222121SSghS)(222212111SSghSSSQ气体的流量：ghpp21直管下端A处流速不变，弯管下端B处流体受阻，形成速度为零的“滞止区”.BApp221v开口A与v相切,开口B逆着液体流向ghppAB所以，液体的流速gh2v（h为两管中液面高度差）皮托管vA=v，vB=0Ａ孔、Ｍ孔处的压强差为：所以流速为：A孔正对着气体流动方向，形成滞止区，M孔截面与v平行。AMpp221ghppMAgh2测量气体流速的皮托管2212.压强和高度的关系条件：粗细均匀管即：流体在粗细均匀的管中流动时，高处的压强小，低处的压强大。利用这一原理可解释体位对血压测量的影响。2211ghpghp2211ghpghp体位对血压的影响通过计算可知，身体各部位距心脏水平高度每升高1.3cm，则升高部位的血压将降低0.13kPa(1mmHg)。临床全麻手术过程中，为了使手术区域局部的脉压降低，减少出血，将尽量使手术部位高于心脏。测血压时，为避免体位对血压的影响，一般选定心脏为零势能参考点，人取坐位测定肱动脉处的动脉血压。如果将手臂抬高，测得的血压就偏低；如果低于心脏，测得的血压就偏高。3.利用伯努利方程解题1、常与连续性方程联合使用2、选择待求点和最简单点(已知量最多)列方程3、选择方便解题的零势能参考面4、不熟悉特殊形式，可列出完整形式【例题2】水从一个大容器里放出。确定出口处的流速由于Ｓ1Ｓ2，故有υ1υ2，可视υ1≈０。又因为p1=p2=p0，有液体从小孔处流出的速度为2222112121pghpgh22gh2221【例题3】已知h1和h2，问(1)截面均匀的下端D被塞住时，A、B、C处的压强各为多少？（2）D端开启时，A、B、C处的压强各为多少？这时水流出D处的速率为多少？101ghPPPghPCBCh2h1BADC0PPPBA(1)D被塞住，为静态h2h1BADC0ppAvvvvDCB)(221)(1220120hhgphhgpvvA:0Av?BpB:?vvB?CpC:?vvC0ppDD:?vvD选择A、D两点：h2h1BADC选择B、C、D粗细均匀管，压强只与高度有关可以去掉一个未知量v选择B、D两点：)()(120012hhgppphhgpBB选择C、D两点：2002ghpppghpCC222212112121ghpghp2222112121vvpp水平管粗细均匀管作业：2-4、2-6伯努利方程的应用总结伯努利方程空吸现象流量计皮托管体位对血压的影响2211ghpghp